Задание на самостоятельную работу

Изучить:

• Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. – 575 с. – стр. 103÷120.

• Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с. – стр. 117÷132, 139÷149.

• Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. – М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с. – стр.64÷73.

Лекция 7 Основные законы распределения дискретных случайных величин. Интегральная теорема Лапласа

Учебные и воспитательные цели:

1. Изучить методику определения вероятности попадания случайной величины на интервал с использованием приведенной табличной функции распределения, приведенной табличной функции плотности распределения, приведенной табличной функции Лапласа.

Вид занятия: лекция.

Продолжительность занятия: 90 минут.

Учебно-материальное обеспечение занятия:

Медиа-проектор, ноутбук, слайды Power Point (Оверхэд-проектор, слайды).

Литература:

а) основная:

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. – М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.

Структура занятия и расчёт времени

Структура занятия	Время, мин
I. Вводная часть занятия	15
II. Основная часть занятия	70
1. Определение вероятности попадания случайной величины на интервал с использованием приведенной табличной функции распределения, приведенной табличной функции плотности распределения, приведенной табличной функции Лапласа	70
III. Заключительная часть занятия	5

Текст лекции

1. Определение вероятности попадания случайной величины на интервал с использованием приведенной табличной функции распределения, приведенной табличной функции плотности распределения, приведенной табличной функции Лапласа

Перед изложением материала лекции преподаватель обозначает проблему (невозможность определения вероятности попадания случайной величины имеющей нормальное распределение на интервал известными ранее методами) и пути её решения.

После чего преподаватель доводит условие примера, на котором будут показаны методы решения задачи по определению искомой вероятности.

Далее преподаватель последовательно решает задачу различными методами. При этом очень кратко останавливаясь на его содержании, доводит расчётную формулу и методику её решения.

Для более глубокого понимания сущности решаемой задачи и исходных данных, для каждого метода решения преподаватель изменяет начало отсчёта.

В общем виде вероятность попадания случайной величины на интервал (х₁; х₂) определится как:

Однако данный интеграл не выражается через элементарные функции и для решения задачи вычисления вероятности вводят специальные табличные функции.

При этом исходят из условия, что центрированная случайная величина должна быть выражена в числовых характеристиках рассеивания: либо _х либо Ех. В этом случае параметры нормально распределенной случайной величины будут равны m_x = 0; _х = 1 или Ex = 1 (в зависимости от того, какую используют характеристику рассеивания _х, или Ех). Для таких функций заранее составляют таблицы.

Методику решения задач по определению вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на заданный интервал с использованием различных функций покажем на следующем примере.

Пример 1: Определить вероятность попадания при одном выстреле в полосу, глубиной 10 м, расположенную перпендикулярно направлению стрельбы, если центр рассеивания снарядов находится в 10 м дальше центра полосы. Срединное отклонение рассеивания снарядов по дальности равно 15 м (Вд=15) (рисунок 1)

ЦЦ

ЦРС

С

10 м

Направление

стрельбы

10 м

Рисунок 1

Решение:

Обозначим случайную величину Х = {удаление точки падения снарядов от центра рассеивания снарядов (ЦРС)}.

Выберем за начало координат точку С, совпадающую с центром рассеивания снарядов, тогда математическое ожидание случайной величины равно 0 ( ), а удаление границ интервала, в котором необходимо определить вероятность попадания случайной величины Х, будет равно , .

Таким образом, задача определения вероятности попадания снаряда в полосу глубиной, равную 10 м, сводится к определению вероятности попадания случайной величины Х на интервал от -15 до -5, т.е. (Р(-15  Х  -5)) (рисунок 2).

- 15

- 5

0

х

х₁

х₂

m_x

Рисунок 2