Задание на самостоятельную работу

Изучить:

• Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с. – стр. 67-78, 80-84

• Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с. – стр. 73-93

• Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. – М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с. Стр 64-73

Лекция 6 Основные законы распределения дискретных случайных величин. Локальная теорема Муавра-Лапласа, формула Пуассона

Учебные и воспитательные цели:

1. Ознакомить с локальной теоремой Муавра-Лапласа.

2. Ознакомить с распределением Пуассона дискретных случайных величин.

Вид занятия: лекция.

Продолжительность занятия: 90 минут.

Учебно-материальное обеспечение занятия:

Медиа-проектор, ноутбук, слайды Power Point (Оверхэд-проектор, слайды).

Литература:

а) основная:

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. – М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.

Структура занятия и расчёт времени

Структура занятия	Время, мин
I. Вводная часть занятия	5
II. Основная часть занятия	80
Введение в лекцию	5-10
1. Локальная теорема Муавра-Лапласа	30-35
2. Распределение Пуассона	35-40
Заключение по лекции	5
III. Заключительная часть занятия	5

Текст лекции

Введение в лекцию:

На предыдущих двух лекциях нами были рассмотрены формы законов распределения случайных величин и числовые характеристики случайных величин. Сегодня мы рассмотрим основные распределения дискретных и непрерывных случайных величин.

Учебные вопросы лекции:

1. Локальная теорема Муавра-Лапласа

При больших значениях формула Бернулли приводит к громоздким вычислениям, поэтому вероятность находят по следующей приближённой формуле:

, где q=1-p, .

Эта формула называется формулой Муавра – Лапласа. В силу сложности вывод её опущен.

2. Распределение Пуассона

Достаточно часто в практике приходится иметь дело с редко наступающими однородными событиями, например, поступление информации в АСУ, сигналов о разведанных целях в РЛС и ряда подобных задач, связанных с моментом появления каких-то однородных событий. Такого рода случайные величины распределены по своеобразному закону, который называется законом Пуассона.

Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения: 0, 1, 2,…, m, … (бесконечное, но счётное множество значений), а соответствующие вероятности находятся из выражения:

где а > 0, m = 0, 1, 2, …, m,…

а – параметр закона Пуассона, от которого зависит P_m.

Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, имеет вид:

	0	1	2	…	m	…
				…		…

Опять же для решения задачи отыскания числовых характеристик дискретной случайной величины имеющей распределение Пуассона применяют аппарат производящих функций.

Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей распределение Пуассона с параметром а равно этому параметру.

Дисперсия случайной величины Х, имеющей распределение Пуассона с параметром а равна этому параметру.

Среднеквадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, будет равно:

Если провести аналогии по вычислению вероятности появления события «не менее m числа раз» с биномиальным распределением, то мы увидим, что решить задачу отыскания искомой вероятности из выражения:

невозможно, так как число возможных значений случайной величины Х бесконечно.

Следовательно, вероятность может быть вычислена только как противоположное событие:

В частности вероятность появления события хотя бы один раз возможно вычислить из выражения:

.

Закон Пуассона применяется для решения следующих типов прикладных задач:

1. Когда производится большое число независимых опытов, в каждом из которых событие А имеет очень малую вероятность наступления,

2. Когда на отрезке времени случайным образом появляются какие-то однородные события.

В первом случае, когда производится большое число независимых опытов, в каждом из которых событие А имеет очень малую вероятность наступления, возможна приближенная замена биномиального распределения распределением Пуассона.

При этом параметр а Пуассоновского распределения равен произведению параметров биномиального распределения np:

a = np

Пример 1: При стрельбе по цели расходуется 216 снарядов. Вероятность попадания в цель одним снарядом равна 0,02. Определить вероятность того, что в цель попадет не более двух снарядов.

Решение:

Случайная величина Х = {Число снарядов, попавших в цель} имеет биномиальное распределение, но так как производится достаточно большое число независимых выстрелов n = 216, а вероятность наступления события попадание в цель в каждом испытании мала p = 0,02, то для вычисления вероятности наступления интересующих событий можно воспользоваться законом Пуассона.

Таким образом:

Вывод: Полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа стрельб по 216 снарядов в каждой в аналогичных условиях, в среднем, в 18 стрельбах из 100 в цель попадёт не более двух снарядов.

Из-за возможной замены биномиального распределения распределением Пуассона, когда производится большее число испытаний, а вероятность наступления события в каждом из них мала, закон Пуассона называют также «законом «редких явлений».

Во втором случае закон Пуассона может применяться для решения задачи определения вероятности случайных появления однородных событий за промежуток времени.

Последовательность появления однородных событий называют «потоком событий». Для простейшего или стационарного Пуассоновского потока событий вероятность появления события за промежуток времени  равна

,

где  - интенсивность потока событий.

Другими словами, – это средняя плотность появления однородных событий за время t, или математическое ожидание числа появления однородных событий за единицу времени.

В этом случае параметр а биномиального распределения равен 

(а = ).

Пример 2: ЭВМ в среднем за 1 час может обработать сведения о 20 разведанных целях. Найти вероятность того, что в течение 12 минут будет обработана информация не более чем об одной цели.

Решение:

Случайная величина Х= {Число обработанных в ЭВМ целей за промежуток  = 12 минут} распределена по закону Пуассона, так как: среднее число обработанных целей за 12 минут пропорционально только возможности ЭВМ обработать сведения о поступивших целях за этот промежуток времени (поток обладает свойством стационарности); в случае, если ЭВМ обрабатывает результаты засечки одной цели, то за этот промежуток времени обработка результатов засечки другой цели невозможна (поток обладает свойством ординарности); информация о разведанных целях поступает от различных средств разведки, поэтому можно считать, что поступление информации в ЭВМ независимо (поток обладает свойством «отсутствие последействия»). Следовательно, поток событий можно считать стационарным Пуассоновским, а искомую вероятность определить из выражения.

Таким образом, искомая вероятность определится как:

.

По условиям задачи интенсивность потока  = 20 целей/час; промежуток времени  = 12 минут = 1/5 часа.

Подставив исходные данные, получим:

Вывод: Полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа испытаний в аналогичных условиях, в среднем в 9 случаях из 100 за 12 минут будет обработана информация не более чем по одной цели.

Заключение по лекции:

В лекции мы рассмотрели основные распределения дискретных и непрерывных случайных величин, показали аналитические зависимости, позволяющие вычислить вероятность числа попаданий (для дискретных случайных величин) или вероятность попадания случайной величины на интервал (для непрерывных случайных величин), математического ожидания и дисперсии случайных величин.

В ходе подготовки к последующим практическим занятиям вы должны самостоятельно при углубленном изучении рекомендованной литературы и решения предложенных задач дополнить свои конспекты лекций.

Кроме того, на последующих занятиях мы будем изучать теоремы и зависимости, позволяющие определить вероятность появления случайной величины требуемое число раз или на определенном интервале непосредственно при решении прикладных задач.