3. Формула полной вероятности

При изложении третьего вопроса лекции преподаватель на примере поражения движущегося танка обозначает проблему определения вероятности сложного события (давая при этом понятие гипотезы).

После чего преподаватель доводит условие задачи (Пример 7), формулу для вычисления полной вероятности события (без её вывода) и условия её применения.

При постановке задачи и пояснения физической сущности вопроса преподаватель использует оверхэд-проектор и подготовленные слайды.

Решение задачи преподаватель проводит на доске, особое внимание при этом обращая на методику её решения и порядок записи. В заключении решения задачи преподаватель под запись доводит вывод, отражающий физическую сущность полученного результата.

При решении ряда практических задач вычисление вероятности некоторого сложного события можно существенно облегчить, если связать наступление этого события с наступлением единственно возможных и несовместных событий, под которыми понимаются гипотезы о всех возможных исходах испытаний.

Пусть, например, производится выстрел по танку (рисунок 2).

Рисунок 2. Схема решения задачи

Известно, что башня танка, его корпус или ходовая часть имеют не только различные размеры, форму и т.д., что усложняет попадание, но и различную степень уязвимости. Первое приводит к тому, что вероятность попадания в различные отсеки танка будет различной, а второе – к тому, что различной будет и вероятность поражения танка при попадании в его башню, корпус или ходовую часть, а, следовательно, и вероятность поражения танка в целом. Поэтому для облегчения вычисления вероятности поражения танка Р(А) представляется целесообразным ввести гипотезы о возможном исходе стрельбы.

Дадим определение:

Под гипотезами понимают полную группу единственно возможных несовместных событий, которые могут наступить в результате проведения испытаний.

В условиях нашей задачи гипотезы о возможном исходе стрельбы будут следующие:

• Н₁ ={попадание в башню танка};

• Н₂ ={попадание в корпус танка};

• Н₃ = {попадание в ходовую часть танка};

• Н₀ ={промах}.

Вероятности этих гипотез Р(Н₁), Р(Н₂), Р(Н₃), Р(Н₀) можно определить и не проводя стрельбу по танку, достаточно, например, провести стрельбу по его макету. Далее можно поставить задачу определения условных вероятностей поражения танка при попадании в различные его отсеки, т.е. поставить задачу определения условных вероятностей поражения танка при реализации выбранных гипотез: Н₁={при попадании в башню танка}; Н₂={при попадании в корпус танка}; Н₃= {при попадании в ходовую часть танка}:

• Р(АН₁) – вероятность поражения танка при попадании в башню;

• Р(АН₂) – вероятность поражение танка при попадании в корпус;

• Р(АН₃) – вероятность поражение танка при попадании в ходовую часть.

Указанные условные вероятности возможно определить опытным путём, проводя полигонные стрельбы по танку.

Пример 7: ведётся стрельба из орудия по танку. Известно, что при попадании снаряда в башню вероятность поражения танка равна 0,8; при попадании в корпус – 0,6; при попадании в ходовую часть – 0,5.

Известны также вероятности попадания снаряда в каждый из отсеков танка. Вероятность попадания в башню танка равна 0,2. Вероятность попадания в корпус равна 0,3; вероятность попадания в ходовую часть равна 0,1.

Требуется определить вероятность поражения танка при одном выстреле.

Вычислить вероятность наступления интересующего нас события позволяет формула, получившая особое название формулы полной вероятности.

Полная вероятность события равна сумме парных произведений вероятностей каждой из гипотез на отвечающие им условные вероятности наступления этого события.

Данная формула является следствием из обеих теорем – теорем сложения и умножения вероятностей.

При определении полной вероятности необходимо следить, чтобы были учтены все гипотезы о возможном исходе испытания, при которых может наступить интересующее нас событие, т.е. гипотезы должны составлять полную группу несовместных событий. Свидетельством полного учёта всех гипотез является выполнение равенства

Если данное равенство не выполняется, то это означает, что учтены не все гипотезы о возможных исходах испытания.

Таким образом оказывается, что знания вероятностей гипотез Р(Н₁), Р(Н₂), Р(Н₃), о возможных исходах стрельбы и условных вероятностей наступления интересующего нас события А – поражение танка при осуществлении этих гипотез Р(АН₁), Р(АН₂), Р(АН₃) является достаточным для вычисления вероятности поражения танка, т.е. наступления интересующего нас события А.

Вернёмся к решению примера.

Решение:

Таким образом, возможные гипотезы об исходах стрельбы:

Н₁ = {попадание в башню танка};

Н₂ = {попадание в корпус танка};

Н₃ = {попадание в ходовую часть}.

По условию задачи вероятности гипотез будут равны:

гипотеза Н₁={попадания в башню танка} – равна 0,2 (Р(Н₁) = 0,2);

гипотеза Н₂ ={попадание в корпус танка} – равна 0,3 (Р(Н₂) = 0,3);

гипотеза Н₃ ={попадание в ходовую часть} – равна 0,1 (Р(Н₃) = 0,1).

Интересующее нас событие А = {поражение танка}. По условию задачи вероятность поражения танка при реализации гипотез:

Н₁ = {попадание в башню танка} равна 0,8 (Р(АН₁) = 0,8);

Н₂ = {попадание в корпус танка} равна 0,6 (Р(АН₂) = 0,6);

Н₃ = {попадание в ходовую часть} равна 0,5 (Р(АН₃) = 0,5).

Проверим, все ли гипотезы об исходах стрельбы учтены:

Р(Н₁) + Р(Н₂) + Р(Н₃) = 0,2 + 0,3 + 0,1 = 0,6 1.

Следовательно, имеющиеся гипотезы не составляют полной группы событий и не учтено событие Н₀={промах}, вероятность которого можно определить как вероятность противоположного попаданию в танк события – промаху – :

Таким образом, вероятность гипотезы Н₀={промах} равна 0,4. (РН₀) =0,4).

Вероятность поражения танка при реализации гипотезы Н₀={промах} равна 0. (Р(АН₀) = 0).

Применяя формулу полной вероятности для решения задачи получим:

Следовательно, полная вероятность поражения танка при одном выстреле равна

Р(А) = 0,39 = 39%.

Вывод: Полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа стрельб в аналогичных условиях в среднем в 39 случаях из 100 танк окажется поражённым.

Заключительная часть занятия:

• напомнить тему и учебные вопросы занятия;

• отметить степень достижения учебных целей;

• ответить на возникшие вопросы;

• отметить работу группы в целом;

• оценить работу студентов;

• поставить задачу на подготовку к следующему занятию:

На занятии иметь:

Калькуляторы – на каждого

Задание на самостоятельную работу

Изучить:

• Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с. – стр. 32-35

• Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. – М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с. – стр.18-29.

Лекция 4 Формула Байеса, вероятность появления хотя бы одного события

Учебные и воспитательные цели:

1. Изучить частную теорему о повторении опытов.

2. Изучить порядок определения вероятности события не менее заданного числа раз.

Вид занятия: лекция.

Продолжительность занятия: 90 минут.

Учебно-материальное обеспечение занятия:

Медиа-проектор, ноутбук, слайды Power Point (Оверхэд-проектор, слайды).

Литература:

а) основная:

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. – 575 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. – М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.

Структура занятия и расчёт времени

Структура занятия	Время, мин
I. Вводная часть занятия	15
II. Основная часть занятия	70
1. Формула Байеса, вероятность появления хотя бы одного события	70
III. Заключительная часть занятия	5

Текст лекции