1.1.2. Определители второго и третьего порядка. Их свойства.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

	(3)	и		(4)

 Определителем второго порядка (4) квадратной матрицы (3) называется число .

Например, ,

 Определителем квадратной матрицы третьего порядка называется число:

Чтобы запомнить какие произведения следует брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, можно пользоваться следующим схематично изображенным правилом:

 Рассчитайте значения определителей:

1.

2.

3.

4.

5.

Свойства определителей.

1. Определитель не изменится, если строки определителя заменить соответствующими столбцами.

Докажем это на примере определителя второго порядка. Вычислим:

и

Поскольку , то

 Доказать самостоятельно для определителя третьего порядка:

2. Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) определителя может быть вынесен за знак определителя.

Действительно:

3. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца) определителя, то определитель равен нулю.

 Самостоятельно докажите для определителя III порядка.

4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный.

 Самостоятельно доказать для определителя III порядка.

5. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственно элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число (теорема о линейной комбинации параллельных рядов определителя).

Действительно, покажем на примере:

1.1.3 Алгебраические дополнения и миноры.

 Минором M_ij элемента _ij определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получается, если в исходном определителе вычеркнуть строку i и столбец j, содержащие элемент _ij.

 Алгебраическим дополнением элемента _ij называется его минор, умноженный на (-1)^k, где k=i+j; .

 Для матрицы найдите алгебраические дополнения элементов ₁₃, ₂₂, ₁₂, ₂₃:

1.1.4. Вычисление определителя разложением по элементам строки (столбца).

 Теорема 1: Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения.

 Проверьте самостоятельно для i=2; j=1.

Доказательство.

 Теорема 2: Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

 Квадратная матрица A называется невырожденной (неособой), если . Если же detA=0, то она называется вырожденной (особой).

1.1.5. Понятие об определителе n-го порядка.

 Теорема 3: Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

для строки с номером i,

, для элементов k-го столбца =