2. 4. Циклические коды

Важнейшим частным случаем линейных кодов являются циклические коды, которые допускают простую техническую реализацию и могут быть использованы для изучения, поиска и построения других не менее эффективных в практическом отношение кодов.

Линейный код С называется циклическим, если любой циклический сдвиг кодового слова также является кодовым словом , т.е. если с₀с₁. . . с_{n -1}

принадлежит С, то и с_{n -1}с₀ . . . с_{n -2} принадлежит С.

Для описания циклических кодов сопоставим каждому кодовому слову с₀с₁. . . с_{n -1}  GF ⁿ ( P ) полином степени n -1 :

с ( х ) = с ₀ + с₁ х + . . . + с_{n -1} х ^{n -1} .

Тогда сумме двух кодовых слов будет соответствовать полином, представляющий сумму соответствующих им поиномов ( все вычисления здесь и ниже по модулю Р ). Причём сумма полиномов равна полиному, соответствующему некоторому кодовому слову. Однако произведение полиномов, каждый из которых имеет степень не больше n - 1, в общем случае не соответствует кодовому слову длины n, так как его степень может быть больше n - 1.

Так, например, код

С =0 0 0 , 0 1 1 , 1 0 1 , 1 1 0

является циклическим кодом длины 3 и его кодовым словам соответствуют полиномы:

0 , х + х ² , 1 + х ² , 1 + х .

Сумме кодовых слов 1 0 1 и 1 1 0 соответствует слово 0 1 1 , которому соответствует полином с ( х ) = х + х ² , а произведению этих же слов не соответствует кодовое слово. Поэтому нам необходимо такое представление произведения полиномов, а именно по модулю полинома х ⁿ - 1, при котором результату будет соответствовать также полином степени не больше

n - 1.

В самом деле, если кодовому слову с ₀с₁. . . с_{n -1} соответствует полином

с ( х ) = с ₀ + с₁ х + . . . + с_{n -1} х ^{n -1},

то циклическому сдвигу с_{n -1}с₀ . . . с_{n -2} будет соответствовать полином

х с ( х ) = с ₀х + с₁ х ² + . . . + с_{n -1} х ⁿ = с _{n -1} + с ₀ х + с₁ х ²+ . . .

+ с_{n -2} х ^{n -1}+ с_{n -1} ( х ⁿ -1) = с_{n -1} + с ₀ х + . . . + с _{n -2} х ^{n -1}

по модулю х ⁿ -1 .

Таким образом, умножению полинома с ( х ) на х соответствует циклическому сдвигу кодового слова.

Приведём практический способ построения циклического кода с помощью так называемого порождающего полинома.

Пусть

g ( x ) = g₀ + g₁ x + . . . + g_r x^r

некоторый делитель полинома х ⁿ - 1 степени r  1 - порождающий полином циклического кода длины n. Рассмотрим множество всех полиномов f(x) степени не выше n - 1 которые делятся на g( x ), т.е. множество полиномов с ( х ) = f ( x ) g ( x ). Каждому такому полиному

с ( x ) = с ₀ + с₁ х + . . . + с_{n -1} х ^{n -1}

сопоставим слово его коэффициентов с₀с₁. . . с_n-1 и обозначим через С множество всех таких слов.

Покажем, что С является циклическим кодом длины n размерности n - r с порождающим полиномом g ( x ), причём сообщение f ( x ) кодируется словом с ( х ) = f ( x ) g ( x ).

Пусть с₀с₁. . . с_{n - 1} и d₀d₁ . . . d_{n - 1} - два произвольных слова из С, которым соответствуют полиномы

с ₁( x ) = с ₀ + с₁ х + . . . + с_{n -1} х ^{n -1} = f ₁( x ) g ( x )

и

с ₂( х ) = d₀ + d₁ х + . . . + d_{n - 1} х ^{n -1} = f ₂( x ) g ( x ) .

Тогда полином

с ₁( x )+с ₂( х ) = ( с ₀+d₀ ) + ( с₁+d₁ )х + . . . + ( с_{n -1}+d_{n - 1} )х ^{n -1}=

= g ( x ) (f ₁( x )+f ₂ ( x )),

которому соответствует слово (с₀+d₀) (с₁+d₁). . .(с_{n -1}+d_{n - 1}), также делится на g(x) и, следовательно,( с₀+d₀ )( с₁+d₁). . .( с_{n -1}+d_n-1) принадлежит С, т.е. С - линейный код.

Далее, если с₀с₁. . . с_{n - 1}  С, то его циклический сдвиг с_{n -1}с₀ . . . с_{n -2} также принадлежит С, в чём легко убедиться.

Так, например, полином g ( x ) = 1 + х + х ³ над GF(2) порождает циклический код длины 7 с минимальным расстоянием 3, что представляет собой двоичный [7 , 4 , 3 ] - код Хэмминга.

Если

g ( x ) = g₀ + g₁ x + . . . + g_r x^r

п орождающий полином циклического кода С, то матрица

g₀ g₁ . . . g_r 0 . . . 0 g(x) 0 . . . 0

0 g₀ g₁ . . . g_r 0 . . . 0 0 хg(x) 0 . . . 0

G = . . . = . . .

0 . . .0 g₀ g₁ . . . g_r 0 . . . 0х^{n - r - 1} g(x)

представляет собой порождающую матрицу циклического кода С, так как С - пространство строк матрицы G.

С другой стороны, для декодирования циклического кода С, определим проверочный полином и проверочную матрицу соответственно как:

h( x ) = (x ⁿ - 1) / g( x ) = h ₀ + h ₁x + . . . + h _kx ^k , h _k  0 , h _k GF(P) ,

0 0 . . . 0 h _k . . . h ₂ h ₁ h ₀ 0 0. . .0 h(x)

H = 0 h _k . . . h ₂ h ₁ h ₀ 0 0 хh(x) 0

. . . = . . .

h _k . . . h ₂ h ₁ h ₀ 0 0 . . . 0 х ^{n - k - 1} h(x) 0 0 . . .0

Таким образом, мы имеем основные способы задания циклических кодов.

Ранее рассмотренные коды Хэмминга H _r в самом деле суть циклические коды с порождающими полиномами g ( x ) равными примитивным полиномам полей Галуа. А для определения всех порождающих полиномов, в общем случае, необходимо иметь разложение полинома x ⁿ - 1 на простые множители над полем Галуа, что является особым вопросом исследования. Так, например,если

x ⁿ - 1 = g ₁( x ) g ₂( x ) . . . g _m( x ),

над GF(q), то можно получить 2^m различных порождающих полиномов

g( x ) и столько же циклических кодов.

2.4.1. Найти все делители полинома х ⁷ - 1 над GF(2).

2.4.2. Нормированный полином М( х ) с коэффициентами из GF(Р) наименьшей степени, для которого М_() = 0 ,   GF(q) называется минимальным полиномом элемента . Доказать, что:

а ) М_( х ) неприводим над GF(Р);

б ) степень минимального полинома примитивного элемента поля

GF(q) равна n ( такой полином называется примитивным );

в ) М_( х ) = М_^р ( х ).

2.4.3. Найти все примитивные полиномы заданной степени поля GF(Р).

2.4.4. Определить порождающий полином циклического[ 15 , 11 , 3 ]- кода Хэмминга H ₄.

2.4.5. Разработать алгоритмы кодирования и декодирования циклических кодов.

2.4.6. Доказать, что если h ( x ) делится на х^Т - 1, то минимальное расстояние не может быть больше чем n / Т.

2.4.7. Код С называется реверсивным, если для произвольного слова

с₀с₁. . . с_{n -1}  С следует, что с_{n -1} . . .с₁с₀  С. Доказать, что циклический код реверсивен тогда и только тогда, когда все элементы, обратные корням его порождающего полинома, также являются корнями порождающего полинома.

2.4.8. Доказать, если - 1 равна некоторой степени q по модулю n, то каждый циклический код над GF(q) длины n реверсивен.

2.4.9. Доказать, что x ⁿ - 1 имеет n различных корней над GF(q).

2.4.10. Циклотомический класс С _s по модулю n над GF(q) определяется как множество:

С _s = { s , sq ,sq², . . . , sq^m_s ^{- 1} } ,

где sq^m_s  s (mod n ) , ( q , n ) = 1. Доказать, что

х ⁿ - 1 = П М _s ( х ) ,

^s

где s пробегает всё множество представителей по модулю n.

2.4.11. Определить проверочный полином для кода Хэмминга H ₃ .

2.4.12. Доказать, что код Хэмминга H _r является циклическим кодом с порождающим полиномом g (x)=М_ (х), где - примитивный элемент поля GF(q).

2.4.13. Построить наименьший циклический код, содержащее слово

0 0 1 1 0 1 0.

2.4.14. Разработать алгоритм разложения полинома х ⁿ - 1 над GF(q).

2.4.15.Определить минимальное расстояние циклического кода длины n.