2. 2. Линейные коды. Способы их задания

Пусть q = Р ⁿ и GF( q ) - конечное поле в векторном представлении его элементов, а

GF ⁿ ( q ) =  х ₁ х ₂ . . . х _n | х _n GF( P ) 

- множество всех вектoров х = х ₁ х ₂ . . .х _n длины n. Если х = х ₁ х ₂ . . .х _n ,

у = у ₁ у ₂ . . . у _n GF ⁿ (q),   GF( P ), то

х + у = ( х ₁ + у ₁ )( х ₂ + у ₂ ) . . . (х _n + у _n )

и

 х =  х ₁  х ₂ . . .  х _n

- сумма двух векторов ( слов ) и умножение на скаляр  соответственно ( здесь и далее все операции производятся по модулю Р ).

Расстоянием Хэмминга d ( х , у ) между двумя векторами х = х ₁ х ₂. . .х _n

и у = у₁ у₂ . . . у_n назовём число позиций, в которых они различаются.

Весом Хэмминга W ( х ) вектора х = х ₁ х ₂ . . .х _n назовём число ненулевых компонент х _n .

Так, например, d ( 1 1 0 1 , 0 1 1 0 ) = 3 , W ( 1 1 1 0 ) = 3.

Очевидно, что d ( х , у ) = W ( х - у ) и d ( х , у ) удовлетворяет следующим условиям:

1. d ( х , у )  причём d ( х , у ) = 0 при х = у;

2. d ( х , у ) = d ( у , х );

3. d ( х , у )  d ( х , z ) + d ( z , у ).

Таким образом, GF ⁿ ( q ) представляет собой метрическое пространство с метрикой d ( х , у ) Хэмминга.

Рассмотрим наиболее важные в практическом отношении случаи векторного пространства GF ⁿ ( 2 ) и двоичного симметричного канала. Последнее означает, что ошибки в ДСК могут быть лишь типа  0 1 , 1 0.

Линейным [ n , k ] - кодом С _{[ n , k ]} назовём подпространство размерности k пространства GF ⁿ ( 2 ). Другими словами, линейный [ n , k ] - код представляет собой множество векторов длины n над GF (2), называемыми кодовыми словами, такое, что сумма двух произвольных кодовых слов также является кодовым словом, и произведение любого кодового слова на элемент поля GF (2) тоже является кодовым словом. Очевидно, в любом линейном коде нулевое слово 0 = 0 0 . . . 0 есть кодовое слово.

Так, например, если n = 3, то

С _{[ 3 , 2 ]} =  0 0 0 , 0 1 1 , 1 0 1 , 1 1 0

- подпространство размерности 2 пространства

GF ³( 2 ) =  0 0 0 , 0 0 1 , 0 1 0 ,0 1 1 , 1 0 0 , 1 0 1 , 1 1 0 , 1 1 1  ,

следовательно, С _{[ 3 , 2 ]} линейный [ 3 , 2 ] - код. В самом деле С _{[ 3 , 2 ]} образует пространство :

___+ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1

1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1

1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 .

Теперь рассмотрим ещё один способ задания линейного кода.

Пусть u=u₁u₂ ...u_k - информационное слово, т.е. слово, которому соответствует один символ из алфавита А - источника передачи информации, x=x₁x₂...x_n - соответствующее переданное по ДСК кодовое слово ( или сигнал ), n  k , х ' = х ₁х ₂ . . . х _i '. . . х _j'. . . х _n - принятое, в общем случае искажённое в позициях i, . . ., j слово.

Слово e = х - х ' = х + х ' = е ₁е ₂ . . . е _n - есть так называемое шумовое слово, для которого

 0 , если в i - й позиции нет ошибки;

е _i = 

 1 , если в i - й позиции есть ошибка.

Итак, если е = 0 0 . . . 0, то х ' = х , т.е. переданное слово принято без ошибок, а при е  0 0 . . . 0 принятое слово х ' = х + е содержит ошибку. Таким образом, шум - это всего лишь некоторый двоичный вектор и такая трактовка вопроса передачи информации достаточно упрощает математическое описание обнаружения и исправления канальных ошибок в системах связи.

Для линейного способа кодирования информации применяется следующее общее правило: если u=u₁u₂ ...u_k - информационное слово, то для кодового слова x=x₁ x₂ ... x_n считается, что

х_i = u _i , х _{k + i} = f _i ( х ₁ х ₂ . . . х _k ) , i = 1 , n - k , ( 2 )

г де f _i ( х ₁ х ₂ . . . х _k ) , i = 1 , n - k - некоторые линейные функции. Соотношения (2) называются проверочными соотношениями.

Число r = n - k называется числом проверочных, или избыточных, или же контрольных символов, а сами символы х _{k + 1 ,} . . . , х _n- проверочными, или избыточными, или же контрольными символами. Таким образом, для построения линейных помехоустойчивых кодов приходится внести r дополнительных символов в кодовые слова и тем самым уменьшить скорость передачи информации R =k / n , где k - число информационных символов, n - длина кодового слова.

Пусть

f _i ( х ₁ х ₂ . . . х _к ) = h _{i 1}* x ₁ + h _{i 2}* x ₂+ . . . + h _{i k}* x _k , i = 1 , r ,

где h _{i k} GF( 2 ).Тогда из проверочных соотношений ( 2 ) имеем :

h _{i 1}* x ₁ + h _{i 2}* x ₂+ . . . + h _{i k}* x _k + x _{k + i} = 0 , i = 1 , r . ( 3 )

Матрица H = ( h _{i j} )_rⁿ размерности ( r x n) из коэффициентов (3 ) - так называемая проверочная матрица и имеет вид:

h _{1 1} h_{1 2} . . . h _{1 k} 1 0 . . . 0 0

h _{2 1} h _{2 2} . . . h _{2 k} 0 1 . . . 0 0

H = . . . = ( A  E _r ),

h _{r 1} h _{r 2} . . . h _{r k} 0 0 . . . 0 1

где A- двоичная матрица размерности (r  k ), а E _r - единичная матрица размерности ( r  r ). Её применяют на практике для декодирования информации.

Линейным [ n , k ] - кодом с проверочной матрицей H назовём множество всех двоичных слов x=x ₁ x ₂ . . . x _n таких, что H х ^т = 0 т.е.

С _{[ n , k ]} =  х  H х ^т = 0  .

Итак, мы имеем более простой способ задания линейного С _{[ n , k ]} кода с помощью проверочной матрицы. Данный способ задания линейного кода зависит только от проверочной матрицы.

Так, например, пусть при n = 6 , к = 3 и r = 3

х ₄ = х ₁ + х ₂ , х ₁ + х ₂ + х ₄ = 0 ,

х ₅ = х ₁ + х ₃ , или х ₁ + х ₃ + х ₅ = 0 ,

х ₆ = х ₂ + х ₃ , х ₂ + х ₃ + х ₆ = 0 .

Тогда проверочная матрица H линейного [ 6 , 3 ] - кода С_{[ 6 , 3 ]} имеет вид:

1 1 0 1 0 0

H = 1 0 1 0 1 0 ,

0 1 1 0 0 1

а все его кодовые слова можно найти из указанных выше проверочных соотношений следующим образом в виде кодовой книги:

u₁ u₂ u₃ х₁ х₂ х₃ х₄ х₅ х₆

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 1 1

0 1 0 0 1 0 1 0 1

0 1 1 0 1 1 1 1 0

1 0 0 1 0 0 1 1 0

1 0 1 1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0 0 1 1

1 1 1 1 1 1 0 0 0

или как С_{[ 6 , 3 ]} =  х  H х ^т = 0  .

Таким образом,

С_{[ 6 , 3 ]} =000000,001011,010101,011110,100110,101101,110011,111000 .

Очевидно, если некоторое слово х = х₁х₂х₃ х₄х₅х₆  С_{[ 6 , 3 ]} , то H х ^т = 0,

в противном случае H х ^т  0.

Рассмотрим ещё один способ задания линейного кода - с помощью порождающей матрицы.

Пусть С линейный [ n , k ] - код, т.е. подпространство размерности k

пространства GF ⁿ ( 2 ). Тогда в этом подпространстве С существует базис b ₁ ,b ₂ , . . . b _k , с помощью которого можно получить все кодовые слова линейного кода С.

Матрица G размерности ( k  n ), строками которой являются базисные векторы b ₁ ,b ₂ , . . . b _k, называется порождающей матрицей линейного кода С. Говорят также, что код С представляет собой пространство строк порождающей матрицы G.

Другими словами, если u=u₁u₂ ...u_k - информационное слово, то х = u G - кодовое слово.

Можно доказать,что если проверочная матрица H линейного [ n , k ]- кода С имеет вид ( A  E _r ), то порождающая матрица этого же кода представляется в виде G = (E _к  - А _к^т ) ( в двоичном случае - А = А ).

Так, например, для линейного кода С_{[ 6 , 3 ]} порождающая матрица G имеет вид :

1 0 0 1 1 0

G= 0 1 0 1 0 1 ,

0 0 1 0 1 1

а базисные векторы - b ₁ = 1 0 0 1 1 0 , b ₂ = 0 1 0 1 0 1, b ₃ = 0 0 1 0 1 1.

Для определения кодового слова соответствующему, например, информационному слову u = 1 0 0 , имеем:

1 0 0 1 1 0

х= u G = ( 1 0 0 ) 0 1 0 1 0 1 = 1 0 0 1 10 ,

0 0 1 0 1 1

что в самом деле принадлежит коду С_{[ 6 , 3 ]} .

Таким образом, мы описали ещё один способ задания линейного [n, k ]- кода с помощью порождающей матрицы, что применяется на практике при кодировании информации линейными кодами.

2.2.1. Пусть х = х ₁х ₂ . . .х _n , у = у ₁ у ₂ . . . у _n GF(2 ⁿ ). Установить связь между расстояниями Хэмминга d _Х ( х , у ) и Евклида d _Е ( х , у ) .

2.2.2. Доказать, что для расстояния Хэмминга выполняется неравентво треугольника d ( х , у )  d ( х , z ) + d ( z , у ).

2.2.3. Найти все подпространства пространства GF³ (2 ).

2.2.4. Доказать, что H х' ^т = 0 тогда и только тогда, когда шумовое слово равно нулю.

2.2.5. Построить пример нелинейного кодирования.

2.2.6. Для фиксированной длины n определить наименьшее число избыточных символов.

2.2.7. Определить скорости передачи информации для кодов: С , С ₀, С₁, С_k , С_{[ 6 , 3 ]} , М , W _n .

2.2.8. Как иначе можно задать проверочную матрицу H ?

2.2.9. Построить все линейные коды длины не более семи .

2.2.10. Построить проверочную матрицу кодов С ₀, С ₁.

2.2.11. Доказать, что если H = ( A  E _r ) , то G = (E _к  - А _к^т ).

2.2.12. Найти все базисы линейного С_{[ 6 , 3 ]} - кода.

2.2.13. Построить троичный линейный код длины 13.

2.2.14. Доказать, что G H ^т = 0 .

2.2.15. Построить проверочную и порождающую матрицы для линейно- го [ n , n - 1] - кода.

2.2.16. Доказать, что d ( х , у ) = d ( х + z , у + z ) = W ( х + у ).

2.2.17. Пусть W ( х ) = W ( у ) = w . Доказать, что d ( х , у ) - чётное число .

2.2.18. Для векторов х и у определим их произведение:

х * у = х ₁ у _{1 ,} х ₂ у ₂ , . . . , х _n у _n .

Показать, что тогда W ( х + у ) = W ( х ) + W ( у ) - 2 W ( х * у ) .

2.2.19. Разработать алгоритм декодирования линейных блочных кодов.