1. 2. Составное поле галуа gf( Рn )

Пусть f ( x ) = x ⁿ + a ₁ x ^{n - 1} + . . . +a _n - простой над полем GF( Р ) полином степени n (над каждым полем Галуа существует простой полином любой заданной степени ). Тогда

GF( Рⁿ ) = b₀ x ^{n - 1} + b₁ x ^{n - 2} +. . . +b _{n - 1} |b _i  GF( Р ) 

образует поле Галуа или конечное поле порядка Рⁿ, т.е. поле, состоящее из Рⁿ элементов с операциями сложения и умножения по двойному модулю

f ( x ) и Р. Здесь Р также называется характеристикой поля GF( P ).

В данном построении поля Галуа GF( Рⁿ ) элементы поля представлены в виде полиномов над GF( P ) степени не выше n - 1 и

x ⁿ = ( Р - a ₁ ) x ^{n - 1} + . . . + ( Р - a _n ).

Так, например, если Р = 2, f ( x ) = x ³ + х + 1, то элементы поля GF(2 ³ )

в полиномиальном представлении имеют вид b₀x² + b₁x + b₂, где b _i GF( 2 ) и x ³ = х + 1.

П олиномиальное Векторное Целочисленное Степенное

представление представление представление представление

0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 1 х ⁰

х 0 1 0 2 х ¹

х + 1 0 1 1 3 х ³

х ² 1 0 0 4 х ²

х ² + 1 1 0 1 5 х ⁶

х ² + х 1 1 0 6 х ⁴

х ² + х + 1 1 1 1 7 х ⁵

Соответствующие таблицы сложения и умножения ( вычитание и деление неявно определяются этими же таблицами ) имеют вид:

+ 0 1 х х + 1 х ² х² + 1 х² + х х² + х +1

0 0 1 х х + 1 х² х² + 1 х² + х х² + х +1

1 1 0 х + 1 х х² + 1 х² х² + х +1 х² + х

х х х + 1 0 1 х² + х х² + х +1 х² х² + 1

х + 1 х + 1 х 1 0 х²+х +1 х² + х х²+ 1 х²

х ² х² х² + 1 х² + х х²+х+1 0 1 х х +1

х ² + 1 х²+1 х² х²+х+1 х²+х 1 0 х+1 х

х ² +х х²+х х²+х+1 х² х²+1 х х+1 0 1

х² +х +1 х²+х+1 х²+х х²+1 х² х+1 х 1 0

* 1 х х + 1 х ² х² + 1 х² + х х² + х +1

1 1 х х + 1 х ² х² + 1 х² + х х² + х +1

х х х² х²+х х+1 1 х²+х+1 х² +1

х+1 х+1 х²+х х²+1 х²+х+1 х² 1 х

х² х² х+1 х² +х+1 х²+х х х²+1 1

х²+1 х²+1 1 х² х х²+х+1 х+1 х²+х

х²+х х²+х х²+х+1 1 х²+1 х+1 х х²

х²+х+1 х²+х+1 х²+1 х 1 х²+х х² х+1

Аналогично определяется примитивный элемент поля GF( Рⁿ ). При этом, полином, корнем которого является примитивный элемент поля

GF( Рⁿ ), называется примитивным полиномом. Так, например, для конечного поля GF( 2 ³ ) элемент х является примитивным элементом.

Пусть q = P ⁿ, где Р - простое, а n - произвольное натуральное число, тогда можно объединить приведённые два случая построения конечных полей в случай поля GF(q ).

1.2.1. Построить поле Галуа GF( 3 ²).

1.2.2. Построить таблицы сложения и умножения для полей GF(8) и GF(9).

1.2.3. Доказать, что для любых двух элементов , GF( q ) и любого натурального числа m = Р ^k имеет место равенство:

(  ±  ) ^m =  ^m ± ^m.

1.2.4. Доказать, что корнями уравнения х ^q - х = 0 являются все элементы поля GF( q ).

1.2.5. Определить число примитивных элементов поля GF( q ).

1.2.6. Доказать, что два поля Галуа с одним и тем же числом элементов изоморфны.

1.2.7. Доказать, что х ^q - х = П F _i ( x ), где F _i ( x ) - произведение всех

i |n

простых над GF( Р ) полиномов степени i.

1.2.8. Доказать, что над каждым полем GF( q ) существует примитивный полином любой положительной степени.