6. Кут між двома прямими. Пучок прямих, які проходять через дану точку. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.

Кут між двома прямими, які задані загальними рівняннями і , обчислюється за формулою:

.

Якщо прямі задані рівняннями і , то кут між прямими обчислюється за формулою .

Умова паралельності двох прямих: ; .

Умова перпендикулярності двох прямих: ; .

Рівняння пучка прямих, які проходять через дану точку , має вигляд: .

Нормальне рівняння прямої одержуємо з загального рівняння , якщо останнє поділити на і вибрати знак протилежний знаку .

Відстань від точки до прямої обчислюється за формулою: .

Зразки розв’язування задач.

Задача 1. Знайти гострий кут між прямими:

1. і .

2. і .

Розв’язання.

1. Кутові коефіцієнти даних прямих дорівнюють і . Тангенс куту між прямими беремо за модулем: . Отже .

2. Косинус кута між прямими беремо за модулем: . Отже .

Задача 2. Дано трикутник з вершинами , і . Знайдіть внутрішні кути цього трикутника.

Розв’язання. Знаходимо кутові коефіцієнти сторін цього трикутника:

; ;

.

Знайдемо кути трикутника:

; ;

. Отже ; ; .

Задача 3. Які з прямих паралельні?

; ; ; .

Розв’язання. Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти. Знайдемо кутові коефіцієнти прямих: ; ; ; . Таким чином, , а це означає, що перша та друга прямі – паралельні.

Задача 4. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій .

Розв’язання. Знайдемо кутовий коефіцієнт даної прямої: ; ; .

Оскільки дана і шукана прямі паралельні, то їх кутові коефіцієнти рівні, тобто . Шукана пряма проходить через точку і має кутовий коефіцієнт . Тоді її рівняння запишемо у вигляді: , або .

Задача 5. При якому значенні параметра прямі і перпендикулярні?

Розв’язання. Кутові коефіцієнти перпендикулярних прямих зв’язані між собою співвідношенням: . Для даних прямих: . Звідки, .

Задача 6. Перевірте, чи перпендикулярні прямі:

1. і ;

2. і ;

3. і .

Розв’язання.

1. Перевіримо виконання умови . Для даних прямих: ; ; ; . Тоді . Це означає, що прямі неперпендикулярні.

2. Якщо прямі задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами, то умова перпендикулярності має вигляд: . Кутові коефіцієнти даних прямих дорівнюють: ; . Умова перпендикулярності не виконується, отже, прямі неперпендикулярні.

3. Рівняння першої прямої запишемо у вигляді: . Тоді . Друга пряма має кутовий коефіцієнт: . Умова перпендикулярності виконується: ; . Прямі перпендикулярні.

Задача 7. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до прямої .

Розв’язання. Знайдемо кутовий коефіцієнт даної прямої: . Тоді кутовий коефіцієнт шуканої прямої . Отже її рівняння має вигляд , або .

Задача 8. Знайдіть відстань від точки до прямої .

Розв’язання. Використовуючи формулу для обчислювання відстані від точки до прямої, дістанемо:

.

Задача 9. Знайдіть відстань між двома паралельними прямими і .

Розв’язання. Знайдемо будь-яку точку на першій прямій. Якщо візьмемо , то . Тоді . Таким чином, точка належить першій прямій. Отже, відстань від цієї точки до прямої обчислюється за формулою . Одержуємо .