Криволинейные корреляционные зависимости

Полученные при исследованиях криволинейные эмпирические зависимости необходимо аппроксимировать некоторыми известными кривыми, например, параболой второго порядка, параболой третьего порядка, степенной функцией, показательной функцией, логарифмической функцией и др.

Вычисление уравнений криволинейной связи ручным счетом из-за большего объема вычислений затруднительно, поэтому рекомендуется выполнять эту работу на компьютере по имеющимся специальным программам. Это же замечание касается и оценки множественной корреляции признаков.

Приведем краткие сведения о видах кривых связей, наиболее часто встречающихся в лесобиологических исследованиях (рис. 56 – 60). Для получения более подробных сведений по этому вопросу необходимо использовать специальную литературу.

Парабола второго порядка часто применяется в лесобиологических исследованиях. Выражается формулой:

у ^/ = а₀ + а₁х + а₂х² (96)

Вычисление значений коэффициентов уравнения а₀, а₁ и а₂ является сутью аппроксимации изучаемой эмпирической зависимости второго порядка.

Уравнение параболы третьего порядка применяется, когда уравнение второго порядка неудовлетворительно аппроксимирует изучаемую коррелятивную связь. Уравнение имеет вид:

у ^/ = а₀ + а₁х + а₂х² + а₃х³ (97)

Если для решения уравнения (вычисления коэффициентов) второго порядка использует преимущественно способ наименьших квадратов, то для вычисления коэффициентов параболы третьего порядка этот способ малопригоден из-за громадности вычислений. Наиболее подходит здесь способ сумм (способ Чебышева).

Уравнение обращенной параболы имеет вид:

Рис. 56. Кореляционная связь:

1 – эмпирическая линейная связь;

2 – парабола второго порядка;

3 – парабола третьего порядка.

Эта парабола легко может быть приведена к уравнению параболы второго порядка делением числителя и знаменателя на х; уравнение принимает вид:

Значения коэффициентов можно находить способом наименьших квадратов или способом средних; второй способ является наиболее простым.

Степенная экспоненциальная функция часто используется для изучения органов растений. Уравнение имеет вид:

у ^/ = а₀х^β , (100)

где β – коэффициент (константа алгометрии), который показывает, во сколько раз скорость роста первого органа (у) превышает скорость роста второго органа (х);

а₀ – коэффициент, соответствующий константе начального роста второго органа или особи в целом.

Рис. 57.Кривая регрессии вида «обращеннаяпарабола»:

1 – эмпирическая; 2 – теоретическая.

Рис. 58. Кривая экспонециального уровня.

В лесобиологических исследованиях степенной функцией может выражаться, например, зависимость площади листа от его длины (или ширины); здесь имеет место квадратическая зависимость. Примером кубической зависимости является зависимость объема ствола от его диаметра, и т.д.

Показательно-степенная функция позволяет аппроксимировать зависимости, выраженные на графике двускатной кривой. Уравнение имеет вид:

у = ах^be^ex , или (101)

у = exp(ln_a+ b· ln_x+ ex), (102)

где а, b, с – коэффициенты, е – основание натуральных логарифмов. Коэффициенты находятся способом наименьших квадратов или способом избранных точек.

Показательная функция применяется, когда при равномерном изменении величин одного признака величины другого признака изменяются в геометрической прогрессии.

Уравнение имеет вид:

у = ае^bx,

где a, b – коэффициенты.

Логистическая функция позволяет оценить связь явлений роста, численности особей, изменений физиологического состояния организмов под влиянием неблагоприятных факторов среды, и т.д.

При помощи логистического метода можно исследовать лишь те зависимости, форма которых графически близка к логистической кривой. Логистическая кривая отражает закон роста биологических существ и изменении их численности. По обратной логистической кривой происходит снижение численности популяции. Таким образом, логистический закон отражает динамику жизненных процессов в прогрессивном и регрессивном направлениях. Логистический анализ включает в себя математическое отображение процессов и их графическое изображение (аппроксимакцию), включая пробит-анализ и определение эффективной дозы при токсикологических исследованиях. При этом проведение графической аппроксимации допускается визуально – «от руки».

Уравнение имеет вид:

где а₀ – нижний предел функции (нижняя асимптота); а₁ – расстояние между верхней (а₁+а₀) и нижней асимптотами (рис.59); у, β – коэффициенты уравнения, определяющие изгиб и наклон логистической кривой.

Рис. 59. Логистическая функция регрессии:

А – прямая зависимость;

Б – обратная зависимость;

В – эмпирическая и тереотическая линии регрессии:

1 – эмпирическая линия регрессии;

2 – логическая линия регрессии.

Кривая затухающей экспоненты:

у ^/= у_max (1–e^-λt) (104)

где у_max – максимальное значение показателей, достигаемое на стадии стабилизации, λ – параметр, характеризующий скорость восстановления показателя (год^-1), k – сдвиг по оси х, характеризующий запаздывание начала восстановления показателя. Период восстановления показателя t₁ = T = 1/λ соответствует времени его восстановления на 63% от у_max, t₂ = 2T = 2/λ – на 86% и t₃ = 3T = 3/λ – на 95% (время стабилизации).

Рис. 60. Кривая уравнения затухающей экспоненты.

Кривая Гаусса применяется при аппроксимации кривой колоколообразного вида. Уравнение Гаусса имеет вид:

где b, h, a – коэффициенты; е – основание натурального логарифма, равное 2,71828.

Логарифмическая функция отражает зависимости, в которых корреляция двух признаков, довольно сильная вначале, становится слабой в конце процесса. Уравнение имеет вид:

у = а + bx + dln_x, (106)

где a, b, d – коэффициенты.

Статистическая обработка малых выборок без составления вариационных рядов при числе наблюдений N< 30

В качестве примера использованы результаты измерения студентами при прохождении учебных практик высоты (с использованием высотомера) и диаметра ствола 20 деревьев отобранных по принципу пропорционально-ступенчатого представительства в культурах сосны 60-летнего возраста (кв. 36 Верх-Исетского участка Северского лесничества УУОЛ) (табл. 61):

Таблица 61

Результаты измерений диаметра и высоты ствола деревьев сосны

Д1,3м, см	16,0	28,5	23,0	32,0	28,0	27,0	24,0	20,0	30,0	28,5	23,0	28,0	19,5	30,5	24,0	35,5	28,0	19,5	24,0	26,5
Н, м	23,0	30,5	24,5	30,5	26,3	27,0	25,5	26,3	28,5	26,0	26,0	27,5	24,3	24,5	25,5	28,0	28,5	26,0	28,6	26,5

Расчет статистических характеристик варьирования диаметра ствола на высоте 1,3 м приведен в табл. 62, высоты ствола в табл. 63 и их корреляционной связи в табл. 64.

Вычисление статистик варьирования диаметра и высоты ствола произведено двумя способами, равноценными по результатам вычислений.

Таблица 62

Расчет статистических характеристик индивидуальной изменчивости диаметра ствола сосны на высоте 1,3 м.

NN п/п	1 способ			2 способ
	x Д1,3M, см	a=x-M	a2=(x-M)2	x Д1,3M, см	x2
1	16,0	–9,775	95,551	16,	256,00
2	28,5	2,725	7,426	28,5	812,25
3	23,0	–2,775	7,701	23,0	529,00
4	32,0	6,225	38,751	32,0	1024,00
5	28,0	2,225	4,951	28,0	784,00
6	27,0	1,225	1,500	27,0	729,00
7	24,0	–1,775	3,150	24,0	576,00
8	20,0	–5,775	33,350	20,0	400,00
9	30,0	4,225	17,850	30,0	900,00
10	28,5	2,725	7,425	28,5	812,25
11	23,0	–2,775	7,700	23,0	529,00
12	28,0	2,225	4,951	28,0	784,00
13	19,5	–6,275	39,376	19,5	380,25
14	30,5	4,725	22,326	30,5	930,25
15	24,0	–1,775	3,150	24,0	576,00
16	35,5	9,725	94,575	35,5	1260,25
17	28,0	2,225	4,951	28,0	784,00
18	19,5	–6,275	39,376	19,5	380,25
19	24,0	–1,775	3,150	24,0	576,00
20	26,5	0,725	5,525	26,5	702,25
N = 20 ∑x = 515,5 ∑a = +38,975–38,975 = 0 ∑a2 = 442,735				∑x2=13724,75 ∑x=515,5
M =				M =
σ =				c=∑x2 – σ =
V = m = p =				V = m = p =

Таблица63

Расчет статистических характеристик индивидуальной изменчивости высоты ствола сосны

NN п/п	1 способ			2 способ
	x H, м	a=x – M	a2=(x – M)2	x Д1,3, м, см	x2
1	23,0	–3,675	13,506	23,0	529,00
2	30,5	3,825	14,631	30,5	930,25
3	24,5	–2,175	4,731	24,5	600,25
4	30,5	3,825	14,630	30,5	930,25
5	26,3	–0,375	0,140	26,3	691,69
6	27,0	0,325	0,105	27,0	729,00
7	25,5	–1,175	1,381	25,5	650,25
8	26,3	–0,375	0,140	26,3	691,69
9	28,5	1,825	3,331	28,5	812,25
10	26,0	–0,975	0,456	26,	676,00
11	26,0	–0,675	0,456	26,0	676,00
12	27,5	0,825	0,680	27,5	756,25
13	24,3	–2,375	5,640	24,3	590,49
14	24,5	–2,175	4,731	24,5	600,25
15	25,5	–1,175	1,381	25,5	650,25
16	28,0	1,325	1,755	28,0	784,00
17	28,5	1,825	3,331	28,5	812,25
18	26,0	–0675	0,456	26,0	676,00
19	28,6	1,925	3,705	28,6	817,96
20	26,5	–0,175	0,030	26,5	702,25
N = 20 ∑x = 533,5 ∑a = +15,7–15,7 = 0 ∑a2 = 75,246				∑x2=14306,33 ∑x=533,5

Таблица64

Вычисление коэффициента корреляции для малых выборок

x Д1,3, м, см	y H, м	x2	y2	xy
16,0	23,0	256,00	529,00	368,00
28,5	30,5	812,25	930,25	869,25
23,0	24,5	529,00	600,25	563,50
32,0	30,5	1024,00	930,25	976,00
28,0	26,3	784,00	691,69	736,40
27,0	27,0	729,00	729,00	729,00
24,0	25,5	576,00	650,25	612,00
20,0	26,3	400,00	691,69	526,00
30,0	28,5	900,00	812,25	855,00
28,5	26,0	812,25	676,00	741,00
23,0	26,0	529,00	676,00	598,00
28,0	27,5	784,00	756,25	770,00
19,5	24,3	380,25	590,25	473,85
30,5	24,5	930,25	600,25	747,25
24,0	25,5	576,00	650,25	612,00
35,5	28,0	1260,25	784,00	994,00
28,0	28,5	784,00	812,25	798,00
19,5	26,0	380,25	676,00	507,00
24,0	28,5	576,00	817,96	686,40
26,5	26,5	702,25	702,25	702,25
∑x=515,5	∑y=533,5	∑x2=13724,75	∑y2=14306,33	∑xy=13864,90

Коэффициент корреляции определяется по формуле:

где r – коэффициент корреляции, N–объем выборки (число пар вариант).

В приведенном примереr:

В приведенном примере были известны средние значения M_x и M_y, формула определения коэффициента корреляции для упрощения расчетов преобразуется в следующий вид:

Отбор деревьев был проведен по диаметру ствола на высоте 1,3 м, при этом не учитывалось срединное положение отбираемого дерева по высоте среди деревьев, относящихся к этой же ступени толщины, как рекомендует таксационная наука. Полученный коэффициент корреляции 0,62 обеспечивает получение детерминации этих показателей 0,38; только 38% изменчивости высоты деревьев вызывается изменчивостью диаметра ствола на высоте 1,3 м, остальные 62% изменчивости вызываются действием других факторов (таксационных показателей). Использованный способ отбора деревьев следует признать малопригодных для его использования в качестве способа отбора модельных деревьев в лесных культурах сосны 60-летнего возраста, так как он не в полной мере отвечает требованиям, предъявляемым в лесной таксации.