5.5.9.2. Корреляционный анализ

Метод корреляционного анализа применяется для установления связи между случайными величинами. Установление связи между двумя случайными величинами называется парной корреляцией, а между тремя или большим числом случайных величин –множественной. Примеры парных корреляций показаны на рис.49 – 52.

Парная корреляция может быть линейной и нелинейной, положительной и отрицательной. Линейная связь является прямолинейной, а нелинейная – криволинейной. При положительной корреляции увеличение значений одной случайной величины ведет к увеличению значений другой (с увеличением диаметра ствола деревьев увеличивается их высота). Отрицательная связь предполагает уменьшение одной случайной величины при увеличении другой. Примером нелинейной корреляции является связь высоты ствола с его диаметром, когда с увеличением диаметра возрастает и высота, но связь между ними является криволинейной, затухающей. Примером обратной связи является связь числа стволов на 1 га с их размерами.

Начинающему исследователю полезно перед началом исследования выявить наличие или отсутствие связи между изучаемыми признаками. Корреляционная связь между двумя изучаемыми случайными величинами может быть существенной и несущественной. Если связь существенная, то необходимо определить меру сопряженности коррелируемых показателей. Если же связь двух величин отсутствует или несущественна, то отпадает и необходимость измерения величины этой связи. В качестве примера рассмотрена сопряженность диаметра и высоты ствола в 19-летних культурах сосны (табл. 52), для чего вычисляют полихорический коэффициент сопряженности Чупрова (изменяющийся в пределах от 0 до 1) (табл. 53, 54).

Таблица 52

Корреляционная связь диаметров (х) и высоты (у) ствола 19-летних культур сосны

Y(H) \ X(D)	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	ny	Среднее X
7								1		1	1	3	10,7
6,5						1	2	3			1	7	8,9
6						1	3	3	2	2	2	13	9,5
5,5					3	1	2		1	1		8	6,5
5				1	2	5	1					9	6,7
4,5			1	1	1	3						6	5,5
4		1	1	2	1	1						6	5
3,5		1	2		1							4	4,2
3		3										3	3
2,5	4	1										5	2,2
2	1	1										2	2,5
nx	5	7	4	4	8	12	8	7	3	4	4	66
Среднее Y	2,4	3	3,9	4,4	4,8	5	5,9	6,4	5,8	6,1	6,4

Порядок расчета коэффициента сопряженности приведен в табл.53, 54.

1. Частоты всех клеток табл. 52 возводят в квадрат (табл. 53): в первой строке 1² = 1; 1² = 1; 1² = 1; во второй строке 1² = 1; 2² = 4; 3² = 9; 1² = 1 и т. д.

2. Полученные квадраты частот делят на сумму n_у, в которой расположенны частоты (табл. 54): в первой строке: 1 : 3 = 0,33; 1 : 3 = 0,33; 1 : 3 = 0,33; во второй строке: 1 : 7 = 0,14; 4 : 7 = 0,57; 9 : 7 = 1,29; 1 : 7 = 0,14 и т. д.

3. Полученные частоты суммируют по столбцам: Σ(n²/n_y) = 3,7; 4,12; 1,33 и т. д.

4. Полученные суммы делят на n_x – Σ(n²/n_y) / n_x: 3,7 : 5 = 0,74; 4,12 : 7 = 0,59; 1,33 : 4 = 0,33 и т. д.

5. Полученные частные суммируют: в примере сумма J = 3,66.

Вычисление полихорического коэффициента Чупрова производят по формуле:

Таблица 53

Вычисления суммы частных Jдля полихорического коэффициента сопряженности Чупрова

Y(H) \ X(D)	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
7								1		1	1
6,5						1	4	9			1
6						1	9	9	4	4	4
5,5					9	1	4		1	1
5				1	4	25	1
4,5			1	1	1	9
4		1	1	4	1	1
3,5		1	4		1
3		9
2,5	16	1
2	1	1

Таблица 54

Вычисления суммы частных Jдля полихорического коэффициента сопряженности Чупрова

Y(H) \ X(D)	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	Итого
7								0,33		0,33	0,33
6,5						0,14	0,57	1,29			0,14
6						0,08	0,69	0,69	0,31	0,31	0,31
5,5					1,13	0,13	0,50		0,13	0,13
5				0,11	0,44	2,78	0,11
4,5			0,17	0,17	0,17	1,50
4		0,17	0,17	0,67	0,17	0,17
3,5		0,25	1,00		0,25
3		3,00
2,5	3,2	0,20
2	0,5	0,50
Итого	3,7	4,12	1,33	0,94	2,15	4,79	1,87	2,31	0,43	0,77	0,78
Σ(n2/ny) / nx	0,74	0,59	0,33	0,24	0,27	0,40	0,23	0,33	0,14	0,19	0,20	3,66

Оценку статистической достоверности коэффициента сопряженности производят по формуле:

Табличное значение (по: Зайцев Г.Н.Табл. 10 Па) на 5% уровне значимости при числе степеней свободы 100 равно 124,3. Фактический критерий значительно превосходит табличный, следовательно сопряженность диаметра и высоты ствола доказана на высоком уровне вероятности.

Корреляция между случайными величинами не отражает причинную связь, поэтому можно рассматривать как зависимость второй случайной величины от первой, так и зависимость первой величины от второй, то есть можно составлять как первое, так и второе корреляционные уравнения. В некоторых случаях имеет логический смысл лишь одно корреляционное уравнение, в частности, уравнение зависимости таксационных показателей деревьев от возраста. В лесоводственных исследованиях чаще всего устанавливают зависимость различных таксационных показателей деревьев от диаметра на высоте груди; на основании полученных результатов исследований этих закономерностей составляют таксационные таблицы для их использования в научных и производственных целях.

Для оценки тесноты связи двух случайных величин при линейной их связи служит коэффициент корреляции, а криволинейной – корреляционное отношение. Коэффициент корреляции является частным случаем корреляционного отношения. В корреляционной связи одному значению аргумента соответствует приближенное значение функции или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. Чем теснее связь признаков, тем больше корреляционная связь приближается к функциональной.

На лесные и ботанические объекты воздействуют факторы в их широком разнообразии, поэтому между признаками этих объектов встречаются исключительно корреляционные связи. В одной и той же парной связи может существовать как прямая, так и обратная связь, например, при

y y

xx

Рис.49. Положительная линейная Рис.50. Положительная

связьнелинейная связь

y y

xx

Рис.51. Отрицательная линейная Рис.52. Отрицательная

связь нелинейная связь

увеличении размеров деревьев хвойной породы с возрастом до определенного уровня число шишек на дереве увеличивается, после достижения этого уровня число шишек на дереве снижается. В задачу лесобиолога входит объяснить причины этого явления, а в задачу лесовода – использовать с максимальной лесоводственной эффективностью динамику возобновительной способности лесов.

При изучении корреляционных связей у древесных растений методом парной корреляции можно считать доказанной лишь ту связь, механизм которой понятен исследователю; в некоторых случаях при механическом подходе можно установить связь, которой на самом деле нет. Это происходит в случае, когда два изучаемых признака в сильной степени зависят от какого-либо третьего признака или совокупности признаков. Поэтому более правильным будет одновременное изучение связей всего комплекса признаков с использованием метода множественной корреляции и корреляционных плеяд.

Чем ближе эмпирическое распределение признака к симметричному и, более того, к нормальному, тем больше вероятность существования корреляционных связей данного признака с другими признаками. Для выявления этих связей иногда требуется большое число измерений (наблюдений).При изучении связи двух взвешенных рядов распределения составляются корреляционная решетка с установлением тесноты связи и с построением в последующем эмпирической линии регрессии, позволяющей определить характер зависимости одной величины от другой. При прямолинейной связи вычисляют коэффициент корреляции и коэффициент ранговой корреляции Спирмена, а при криволинейной – корреляционное отношение независимо от объема выборки.