Основные источники:

1. Дискретная математика : учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.С.Спирина, П.А.Спирин. —. 7-е изд., стер. — М. : Издательский центр «Академия», 2012. —. 368 с.

2. М.С.Спирина, П.А.Спирин. Дискретная математика. Изд-во Академия/Academia", 2010 г.

Дополнительные источники:

1. Вентцель Е.С. «Исследование операций, задачи, принципы, методология» М. Наука 1988 г. 2. Гончарова Г.А., Мочалин А.А. Элементы дискретной математики. М. Форум - инфри - м 2003 г. 3. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. М. Наука 1986 г. 4. Карпов В.Г., Мощенский В.А. Математическая наука и Дискретная математика. Минск. Винца школа 1977 г. 5. Кузнецов О.П., Адельсон - Вильский Г.М. Дискретная математика для инженера. Энергоатомиздат, 1998 г. 6. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М. Издательство МАИ 1992 г. 7. Нефедов Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб – Питер. 2001 г. 8. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М. Наука, 1986 г., 384с.

Интернет ресурсы:

1. М.М. Арсланов, И.Ш. Калимуллин. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.http://www.ksu.ru/f5/k2/bin_files/logika!13.pdf

2. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. Электронная библиотека Московского государственного университета. http://lib.mexmat.ru/books/1383

Самостоятельная работа №26.

Тема: Отличительные особенности геометрии Лобачевского и геометрии Евклида.

Время выполнения задания – 2ч.

Цель работы: Закрепление знаний по отличительным особенностям геометрии Лобачевского и геометрии Евклида.

(Сделать презентацию по теме и ответить на контрольные вопросы.)

Теоретический материал.

Требование непротиворечивости является важнейшим из всех трёх требований, предъявляемых к системе аксиом, ибо наличие противоречий в системе аксиом означает полную её негодность: такая система аксиом логически бессмысленна, является бессодержательной и потому исключается из математики.

    Идея доказательства непротиворечивости данной системы аксиом основана на той мысли, что если существует хотя бы одна такая область вещей, некоторые отношения между которыми удовлетворяют данной аксиоматике, то последняя не может содержать логических противоречий.

    Множество таких объектов, в которых данная система аксиом находит своё реальное воплощение, называется «моделью» или «интерпретацией» данной системы аксиом.

    Таким образом, доказательство непротиворечивости системы аксиом сводится к доказательству существования хотя бы одной модели или интерпретации, в которой реализуется данная аксиоматика.

    Для построения модели геометрии Лобачевского воспользуемся предположением, что геометрия Евклида непротиворечива. Если в евклидовом пространстве найдутся такие фигуры, между которыми имеют место такие же соотношения, какие имеют между собой точки, прямые и плоскости в геометрии Лобачевского, то эти фигуры могут служить объектами для построения модели геометрии Лобачевского. Таким путём непротиворечивость геометрии Лобачевского будет сведена к непротиворечивости геометрии Евклида.

    Действительно, такую интерпретацию геометрии Лобачевского в пространстве Евклида можно построить и притом многими способами.

    Наиболее значительные доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского содержатся в трудах Ф. Миндинга, А. Кэли, А. Пуанкаре, Э. Бельтрами и других выдающихся математиков. Основательную разработку эта проблема получила в трудах итальянского математика Бельтрами, продолжившего работы профессора Тартуского университета Миндинга о внутренней геометрии псевдосферы.

Приведённые выше интерпретации геометрии Лобачевского дают нам основание сделать следующие выводы:

    1) Поскольку все аксиомы планиметрии Лобачевского в интерпретациях перефразируются в некоторые теоремы геометрии Евклида, то и всякому следствию из аксиом Лобачевского, каждой теореме гиперболической планиметрии соответствует определённая теорема геометрии Евклида. Следовательно, если бы в планиметрии Лобачевского встретились бы два противоречащих друг другу предложения, то имелось бы противоречие и между соответствующими им предложениями геометрии Евклида.

    Таким образом, планиметрия Лобачевского непротиворечива постольку же, поскольку непротиворечива геометрия Евклида. А так как непротиворечивость геометрии Евклида сведена к непротиворечивости арифметики, то планиметрия Лобачевского непротиворечива постольку же, поскольку непротиворечива арифметика вещественных чисел.

    2) Поскольку геометрии Евклида и Лобачевского обе непротиворечивы, то с аксиомами абсолютной геометрии I – IV совместима как аксиома Плейфера, так и аксиома параллельных Лобачевского. А это означает, что аксиома V или эквивалентный ей 5-й постулат Евклида не зависят от аксиом I – IV, а следовательно не могут быть доказаны при помощи этих аксиом.

    3) Поскольку планиметрия Лобачевского нашла своё конкретное осуществление в образах геометрии Евклида, она перестаёт быть «воображаемой», как называл её сам творец, а имеет такое же реальное значение, как и геометрия Евклида.

    4) Построение модели планиметрии Лобачевского бесповоротно кладёт конец всяким попыткам доказать 5-й постулат Евклида на основе аксиом абсолютной геометрии, попыткам опровергнуть геометрию Лобачевского.

Вопросы для самоконтроля:

1. Сколько и какие требования предъявляются системе аксиом?

2. Приведите 5 (пять) аксиом геометрии Евклида.

3. В чем состоит основной смысл 5-го постулата Евклида?

4. В чем состоит основное отличие между геометрии Лобачевского и геометрии Евклида?

Рекомендуемая литература: