Основные источники:

1. Дискретная математика : учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.С.Спирина, П.А.Спирин. —. 7-е изд., стер. — М. : Издательский центр «Академия», 2012. —. 368 с.

2. М.С.Спирина, П.А.Спирин. Дискретная математика. Изд-во Академия/Academia", 2010 г.

Дополнительные источники:

1. Вентцель Е.С. «Исследование операций, задачи, принципы, методология» М. Наука 1988 г. 2. Гончарова Г.А., Мочалин А.А. Элементы дискретной математики. М. Форум - инфри - м 2003 г. 3. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. М. Наука 1986 г. 4. Карпов В.Г., Мощенский В.А. Математическая наука и Дискретная математика. Минск. Винца школа 1977 г. 5. Кузнецов О.П., Адельсон - Вильский Г.М. Дискретная математика для инженера. Энергоатомиздат, 1998 г. 6. Нефедов Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб – Питер. 2001 г. 7. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М. Наука, 1986 г., 384с.

Интернет ресурсы:

1. М.М. Арсланов, И.Ш. Калимуллин. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.http://www.ksu.ru/f5/k2/bin_files/logika!13.pdf

2. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. Электронная библиотека Московского государственного университета. http://lib.mexmat.ru/books/1383

Самостоятельная работа №20.

Тема: Тождественные преобразования формул с использованием законов алгебры логики.

Время выполнения задания – 2ч.

Цель работы: Закрепление знаний по тождественным преобразованиям формул с использованием законов алгебры логики.

Теоретический материал.

Любую формулу логики высказываний можно преобразовать так, что будут только операции &, , .

Операция & является двойственной операции , и наоборот двойственна &. А операция отрицания двойственна сама себе. Формула называется двойственной формуле ,если одновременной заменой всех символов &, , на двойственные. Очевидно, совпадает с .

Пример: Формула двойственна формуле .

Как для операций, так и для формул отношение двойственности взаимно, т.е. если двойственно , то и наоборот.

Принцип двойственности: Если , и .

Пример: Принцип двойственности можно применять для нахождения новых равносильностей. Например, используя дистрибутивность & относительно :

получаем равносильность

.

Формулы в их множестве логики высказываний в связи с принимаемыми значениями делятся на классы:

1. Формулы тождественно – истинные;

2. Формулы тождественно – ложные;

3. Формулы выполнимые.

Формулы называются тождественно – истинными (или тавтологией), если они принимают истинные значения при всех наборах входящих в их состав переменных высказываний.

Формулы называются тождественно – ложными, если они принимают ложные значения при всех наборах входящих в их состав переменных высказываний.

Формулы называются выполнимыми, если при одних значениях они принимают истинные значения, а при других – ложные.

Перечислим наиболее важные тавтологии:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. .

Перечисленные выше формулы также являются основными равносильностями. Любое из них легко доказать, составив таблицу истинности.

Докажем 5 и 12.

и	и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	л	л	и	л	и
и	л	л	л	л	л	л	и
и	л	и	л	л	л	л	и
л	и	и	и	л	л	л	и
л	и	л	л	л	л	л	и
л	л	и	л	л	л	л	и
л	л	л	л	л	л	л	и

	л
и	л	и	и
л	л	л	и

Тождественно – истинные формулы отражают законы логики высказываний. В логике высказываний ставится задача: указать способ, позволяющий для каждой формулы с помощью конечного числа операций выяснить, является ли она тождественно – истинной. Такой метод называется методом разрешимости, сама же проблема называется проблемой разрешимости. Эта проблема в логики высказываний разрешима. Для этих целей составляется таблица истинности. Однако, такой метод является очень громоздким, поэтому существуют другие методы, основанные на приведении формул к нормальным формам. Существуют две нормальные формы конъюнктивная нормальная форма и дизъюнктивная нормальная форма.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое коммутативность?

2. Что такое дистрибутивность?

3. Что такое ассоциативность?

4. Сформулируете закон Де Моргана.

Рекомендуемая литература: