3. Статистические характеристики рядов распределения

3.1. Показатели центра распределения

К показателям центра распределения относятся средняя арифметическая, мода и медиана.

Под средней величиной понимают обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень признака и рассчитанный на единицу однородной совокупности.

Средняя арифметическая вычисляется по формулам:

простая ; взвешенная ,

где - среднее значение признака; - варианты; - частоты; - численность совокупности.

Мода - величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности.

В дискретных рядах распределения модой будет варианта с наибольшей частотой.

В интервальном ряду мода определя6ется по формуле:

,

где - нижняя граница интервала, содержащего моду; - величина модального интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота послемодального интервала.

Медианой называется варианта, расположенная в середине вариационного ряда.

Если ряд дискретный имеет нечётное число единиц, то медианой будет варианта, расположенная в середине упорядоченного ряда и её порядковый номер . Если ряд состоит из чётного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант с порядковыми номерами: и .

В интервальном ряду медиана рассчитывается по формуле:

где - нижняя граница медианного интервала; - величина медианного интервала; - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; -частота медианного интервала. Медианным является интервал, накопленная частота которого равна или больше полусуммы всех частот.

3.2. Показатели колеблемости признака

Для измерения колеблемости признака применяются следующие показатели вариации.

Размах вариации - это разность между максимальным и минимальным значениями изучаемого признака.

R = x_max-x_min

Среднее линейное отклонение - средняя арифметическая из модулей абсолютных отклонений вариантов от их среднего значения.

Дисперсия - это средний квадрат отклонений вариантов от их средней арифметической.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии.

Коэффициент вариации – отношение среднего квадратического отклонения к средней:

.

3.3. Показатели формы распределения

Зависимость распределения частот от вариации изучаемого признака есть закономерность распределения. Эмпирическое распределение – распределение, полученное в результате обработки данных статистического наблюдения (эмпирического материала). Теоретическое распределение – это распределение частот в гипотетическом вариационном ряду с бесконечно большим числом единиц совокупности и бесконечно малой величиной интервала.

Теоретическая кривая распределения выражает общую закономерность распределения в чистом виде при исключении влияния случайных факторов.

В статистике широко известны различные виды распределений - нормальное распределение, биноминальное, распределение Пуассона и др. Наибольшее распространение в социально-экономических явлениях имеет нормальное распределение, выражающее закономерности взаимодействия случайных величин. Оно служит удачной моделью, с которой сравнивают анализируемое эмпирическое распределение. Если расхождения не велики, то их объясняют действием случайных факторов и считают данное распределение близким к нормальному. В противном случае делают вывод о несоответствии рассматриваемого распределения нормальному.

В практике статистического исследования встречаются различные типы нормального распределения: 1) одновершинные и многовершинные; 2) симметричные и асимметричные; 3) островершинные и плосковершинные.

К одновершинным относят распределения, в которых одна центральная варианта имеет наибольшую частоту. Многовершинные – это распределения с несколькими максимумами частот.

Симметричные – это распределения, в которых частоты вариант, равностоящих от центра, равны между собой. В асимметричных распределениях частоты убывают от центра вправо и влево с разной скоростью (не равны между собой).

Островершинные – эмпирические распределения, максимальная ордината которых больше максимальной ординаты теоретического распределения. В плосковершинных максимальная ордината эмпирического распределения меньше максимальной ординаты теоретического.

Э мпирические распределения, как правило, асимметричны, то есть смещены по отношению к центру распределения влево или вправо. Для определения направления и величины этого смещения применяется коэффициент асимметрии. Он может быть рассчитан по формулам:

г де m₃ – центральный момент третьего порядка;

Положительная величина коэффициента указывает на правостороннюю асимметрию, отрицательная - на левостороннюю.

Островершинность распределения характеризуется с помощью коэффициента эксцесса Е_х:

г де m₄ – центральный момент четвертого порядка:

Этот коэффициент положителен при островершинности и отрицателен при плосковершинности.