5.8 Пример раскрытия статической неопределимости балки с помощью уравнения изогнутой оси

Для балки (см.рис.5.11) при .

1. записать уравнение изогнутой оси

2. о пределить неизвестные начальные параметры из граничных условий

3. получить выражения и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

4. построить изогнутую ось балки

Решение.

Совмещаем начало координат с левым концом балки

1. Уравнение изогнутой оси балки

.

Cоставляем граничные условия

при :

при :

при :

Положив в универсальном уравнении выражения для силы и момента, получим дифференцированием

.

Решая систему уравнений

получим .

Подставив найденные значения начальных параметров в их выражения, определим их значения в характерных точках:

Определяем абсциссу на втором участке балки, где поперечная сила равна нулю , при этом имеет максимум.

По полученным значениям строим эпюры

5.9 Косой изгиб

В случае, если плоскость действия нагрузок не совпадает с главной осью сечения изгиб будет косым (рис.5.12а). При этом в поперечных сечениях стержня будут присутствовать два изгибающих момента, т.е. косой изгиб можно представить в виде сочетания двух изгибов в главных плоскостях. У круглого и квадратного сечения все оси, проведенные через центр тяжести, являются главными и поэтому такие балки испытывают только плоский изгиб.

Следовательно, в выражении для нормальных напряжений остаются два слагаемых: . Нейтральная линия при этом проходит через центр тяжести сечения, но не перпендикулярна плоскости действия нагрузок: , где - угол наклона плоскости действия сил к главной оси. Перемещения при косом изгибе находятся в плоскости, составляющей угол с главной осью.

Наибольшие нормальные напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии: .

Условием прочности при косом изгибе является .

Пример. Подобрать поперечное сечение для балки, подвергающейся косому изгибу, при (рис. 5.12б).

Решение:

Н аибольшие значения моментов равны .

Рассмотрим несколько видов сечений:

а) прямоугольник с отношением высоты к ширине . Тогда .

Площадь такого сечения равна .

б) круг с отношением внутреннего диаметра к наружному .

Поскольку балки с таким сечением не испытывают косого изгиба то в расчет должен приниматься суммарный момент:

Тогда .

Площадь такого сечения равна .

в) двутавр

Принимаем двутавр №33, у которого .

Тогда .

5.10 Внецентренное растяжение (сжатие)

Если линия действия осевой силы параллельна геометрической оси стержня, но не совпадает с ней, то такой случай нагружения стержня называется внецентренным растяжением (сжатием).

П усть координаты точки приложения силы (рис. 5.13а), тогда возникающие при этом внутренние усилия равны . Таким образом, данный вид нагружения является сочетанием осевого растяжения ( или сжатия) и косого изгиба (или изгибов в двух главных плоскостях). Выражение для нормальных напряжений имеет наиболее общий вид:

или в данном случае , где - радиусы инерции площади поперечного сечения. Приравняв выражение для нормальных напряжений нулю, получим уравнение нейтральной линии: .

Пример. Консоль прямоугольного поперечного сечения растягивается силой , приложенной с эксцентриситетом относительно оси и изгибается силой (рис. 5.13б). Определить нормальные напряжения в точках в заделке.

Р ешение.

Определяем внутренние усилия: .

Воспользуемся формулой для вычисления нормальных напряжений:

точка ,

точка ,

точка ,

точка .