2. Статистичні методи в розрахунках перспективної чисельності населення

Можлива чисельність населення через визначений проміжок часу в майбутньому може бути визначена за допомогою різних методів у залежності від того, необхідно визначити чисельність населення загальну або за окремими віковими групами.

Короткострокові перспективні розрахунки загальної чисельності населення країни (регіону) здійснюються за матеріалами останнього перепису населення і даними поточного обліку відповідно до природного і механічного руху населення.

У міжпереписний період чисельність населення обчислюється шляхом коректування чисельності за переписом (або в базисний розрахунковий рік) на природний і механічний приріст (зменшення) і визначається на початок поточного (звітного) року за формулою:

Н₁ = Н₀ + ∆_ПП + ∆_МП, (3.2.2.1)

де Н₁ – чисельність населення на початок поточного року;

Н₀ – чисельність населення за даними перепису або поточного обліку за базисний (попередній) рік;

∆_ПП і ∆_МП  абсолютний природний і абсолютний механічний приріст населення за рік, відповідно.

За умови збереження існуючої швидкості зміни загальної чисельності населення протягом прогнозного періоду перспективна чисельність населення і чисельність споживачів послуг туристичного бізнесу можуть бути визначені демографічним методом. Використовуючи наявні дані про кількість населення (або чисельність споживачів туристичних послуг) на вихідну дату і про середньорічну інтенсивність загального приросту (зниження) населення за деякий період (загальної зміни ± населення – споживачів туристичних послуг), який передує обчислювальному, умовно приймають, що населення (споживачі туристичних послуг) протягом обчислювального періоду з такою же швидкістю й у тому ж напрямку буде змінюватися.

Тоді перспективна чисельність населення (споживачів послуг туристичного бізнесу) через n років може бути визначена за формулою:

, (3.2.2.2)

де Н_n – чисельність населення (споживачів послуг туристичного бізнесу та ін.) через n років;

Н₀ – чисельність населення (споживачів послуг туристичного бізнесу та ін.) на вихідну дату;

К_заг – середньорічний коефіцієнт загальної зміни (+ збільшення, – зменшення) населення, у ‰:

, (3.2.2.3)

де n – кількість років у періоді, що прогнозується;

– середньорічний коефіцієнт зміни (+, –) чисельності населення (споживачів послуг туристичного бізнесу). Він повинний бути повторений стільки разів, скільки років відокремлює нас від того моменту, на який ведеться розрахунок.

Зрозуміло, що темпи зміни населення протягом всього обчислювального періоду навряд чи будуть відповідати тим, що були в попередньому періоді, практично відхилення цих темпів у майбутньому від прийнятих у вирахуваннях визначає ступінь неточності розрахунків.

За допомогою формули (3.2.2.2) можна дуже швидко провести орієнтовні розрахунки перспективної чисельності населення в цілому (споживачів послуг туристичного бізнесу) за багатьма варіантами, і в цьому є їхня значна перевага.

Головний недолік даного методу полягає в тому, що він дозволяє одержати тільки перспективну чисельність населення в цілому без виділення окремих вікових груп, знання яких необхідно при багатьох планових і господарських розрахунках. Особливо ж це має значення для складання планів у туристичній галузі.

Основним методом розрахунку чисельності і складу населення за статтю й віком на перспективу є метод пересування за віком. Методологія і методика розрахунку показників за цим методом чітко відпрацьовані за час після першого його практичного застосування академіком С. Г. Струмиліним у 1922 р. Основні вихідні дані такі:

1) склад населення за статтю й віком згідно з останнім переписом населення. У залежності від задач прогнозу і вихідних даних беруться вікові групи населення, розділені одно-, п'яти- і десятирічними інтервалами;

2) з таблиць смертності населення, складених на момент проведення перепису, беруться дані про середнє число тих, щ оживуть у вікових групах від х до (х + 1) років, і на їхній основі обчислюються коефіцієнти дожиття за такими формулами:

 для однолітніх вікових груп:

; (3.2.2.4)

 для вікових груп населення з п'ятирічним інтервалом:

; (3.2.2.5)

 для вікових груп з десятирічним віковим інтервалом:

, (3.2.2.6)

де L_х – середнє число тих, що живуть у віковому інтервалі від х до (х + 1) років за таблицями смертності стаціонарного населення.

Ці дані необхідні для планування дитячих дошкільних установ, кількості перших класів початкової школи, забезпечення дітей підручниками і навчальними посібниками, визначення потреби в кадрах викладачів і вихователів, обслуговуючому персоналі і т.п.

Найбільш важкою частиною є розрахунок майбутнього числа народжень. Він виробляється в такий спосіб.

Знаходиться імовірність родити для жінок у віці х років, при цьому використовується формула:

, (3.2.2.7)

де Ж_x – число народжених на 1000 жінок у віці х років (за таблицями фертильності);

Д_x – число дітей, що народилися в матерів у віці х років за два роки, які примикають до року перепису;

Н_x – середньорічна чисельність жінок у віці х років (за даними перепису населення).

Розрахунок виробляється для всіх вікових груп жінок від 15 до 49 років  фертильний вік (таблиця 3.2.2.2).

Таблиця 3.2.2.2  Розрахунок майбутнього числа народжень для усіх вікових груп жінок від 15 до 49 років (фертильний вік)

Вікові групи жінок (років)	Середньорічна чисельність жінок (середньоарифметична чисельність жінок на 12.01.89, осіб	Повікові показники народжува-ності, ‰	Очікуване число дітей, осіб.
5-19	2792	33,2	(2792 ∙ 33,2) / 1000 = 93
20-24	4083	162,0	(4083 ∙ 162,0) / 1000 = 661
25-29	3733	164,0	(3733 ∙ 164,0) / 1000 = 612
30-34	4200	110,5	(4200 ∙ 110,5) / 1000 = 464
35-39	2800	67,0	(2800 ∙ 67,0) / 1000 = 188
40-44	2692	24,2	(2692 ∙ 24,2) / 1000 = 65
45-49	3033	5,5	(3033 ∙ 5,5) / 1000 = 17
Разом	23333	-	2100

У прикладі прийнята гіпотеза незмінного рівня народжуваності до 1995 р. Показники таблиць фертильності розраховані за 1988-1989 рр., як середньорічна чисельність жінок узята їхня чисельність на дату перепису, що приходиться на середину досліджуваного періоду.

Подібні розрахунки можна вести за групами з п’ятирічним (таблиця 3.2.2.3) та десятирічним інтервалом (таблиця 3.2.2.4).

Таблиця 3.2.2.3  Схема розрахунку чисельності населення за п'ятирічними віковими групами

Вікові групи населення (років)	Коефіцієнт дожиття	Чисельність населення на 12.01.89	Чисельність населення на початок року
			1994	1999	2004
0-4	Р0-4	S0-4	S˙0-4	S”0-4	S˙˙˙0-4
5-9	Р5-9	S5-9	S˙5-9	S”5-9	S˙˙˙5-9
10-14	Р10-14	S10-14	S˙10-14	S”10-14	S˙˙˙10-14
95-99	Р95-99	S95-99	S˙95-99	S”95-99	S˙˙˙95-99
Разом

Примітка. S_0-4 ∙ Р_0-4 = S˙_5-9; S˙_5-9 ∙ Р˙_5-9 = S”_10-14 і т.д.

Таблиця 3.2.2.4  Схема розрахунку чисельності населення на перспективу за десятирічними віковими групами

Вікові групи населення (років)	Коефіцієнт дожиття	Чисельність населення на 12.01.89	Чисельність населення на початок року
			1999	2009
0-9	Р0-9	S0-9
10-19	Р10-19	S10-19	S˙10-19
20-29	Р20-29	S20-29	S˙20-29	S”20-29
…	…	…	…
90-99	Р90-99	S90-99	S˙90-99
Разом

Примітка. S_0-9 ∙ Р_0-9 = S˙_10-19 ∙ Р˙_10-19 = S”_20-29 і т.д.

Очікуване число дітей тут визначається за п'ятирічними або десятирічними віковими групами жінок фертильного віку. Найбільш точним з цих розрахунків є розрахунок за однорічними віковими групами.

Прогнозувати майбутню чисельність населення або споживачів туристичних послуг можна, використовуючи такі динамічні статистичні характеристики, як середній абсолютний приріст за період (Δ), середній коефіцієнт зростання (К_р ) або приросту (к_пр = К_р – 1,0) за попередній період.

Вважаючи на майбутнє ці показники для населення незмінним і такими, що дорівнюють їхнім середнім значенням за попередній період, можна знайти перспективну (майбутню) чисельність за формулами:

Н_n = Н₀ + nΔ_n; (3.2.2.8)

; (3.2.2.9)

Н_n = Н₀ (1 + К_ПР)ⁿ, (3.2.2.10)

де Δ_n  середній річний абсолютний приріст населення за період у цілому або за окремими віковими групами;

К_р – середній річний коефіцієнт зростання населення за період у цілому або за окремими віковими групами;

К_ПР = (К_р – 1,0) – середній річний коефіцієнт приросту населення за період у цілому або за окремими віковими групами;

n – кількість років у періоді, який прогнозується.

Прийоми перспективних розрахунків за динамічними моделями використовують не тільки для вирахування загальної чисельності населення або споживачів туристичних послуг, але і для прогнозу його окремих структур і процесів (за віковими групами, за статтю, за місцем проживання).

При прогнозуванні чисельності населення варто виділити такий показник, як період подвоєння населення. Його використовував ще Джон Граунт. Він широко використовується в сучасному демографічному і регіональному аналізі. Показник періоду подвоєння дуже виразно ілюструє хід відтворення населення в минулому й у майбутньому.

Починаючи з 1000 р., населення світу перший раз подвоїлося в 1700 р., і його чисельність склала 600 млн. чол. На подвоєння пішло 700 років.

До 1850 р. населення знову подвоїлося (до 1,25 млрд. чол.). Період другого подвоєння склав тільки 150 років. На наступне подвоєння пішло вже 100 років. У 1950 р. чисельність населення Землі склала 2,5 млрд. чол. У 1988 р. на Землі проживало 5 млрд. чол. Таким чином, четверте подвоєння пройшло вже за 38 років. Якщо темпи збільшення за рік не зміняться і залишаться на рівні 1,017, то 10 млрд. чол. буде жити на Землі через 41 рік після 1988 р. Якби діяла арифметична прогресія, то, починаючи з 1988 р., на подвоєння населення пішло б 62,5 року:

Чисельність населення Землі в 1988 р., тис. чол.	=	5049551	= 62,5
Середньорічний приріст населення Землі в 80-і рр. ХIХ ст.		81285

Дані таблиці 3.2.2.5 свідчать, яким небезпечним може бути незначний, на перший погляд, темп зростання населення при збереженні його протягом тривалого часу. Якщо темп зростання населення Землі не зменшиться, то через 100 років воно збільшиться в 6 разів. У деяких країнах Африки, Південно-Східної Азії, Латинської Америки темп приросту його перевищує 3 %.

Таблиця 3.2.2.5  Швидкість збільшення населення при незмінному річному коефіцієнті природного приросту

Показники	Темпи приросту за рік, %
	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
Кількість років, необхідних для подвоєння населення	139	69,7	46,5	35	28,1	23,4	20,1	17,7
У скільки разів збільшиться населення за 100 років (темп приросту, %)	1,65	2,7	4,44	7,24	11,8	19,2	31,2	50,2

Покажемо, як для перспективних розрахунків використовують показники режиму відтворення і теоретичних моделей населення.

Дані по Україні, які показують еволюцію відтворення населення в XX ст. і перспективи на початок XXI ст. за показниками режиму відтворення, представлені в таблиці 3.2.2.6.

Прогнозні показники обчислені за гіпотезою змінного режиму вікової плідності і смертності. Перспективні розрахунки виконані на основі методів аналітичного вирівнювання і подальшої екстраполяції з 1990 р. по 2015 р. Якщо в офіційному прогнозі передбачається додатковий приріст, хоча і близький до 0, у приведеному варіанті з початку XXI в. він прогнозується як негативний. Як видно з даних таблиці 3.2.2.6, не тільки чисті коефіцієнти свідчать про те, що жіноче покоління відтворюється не цілком, уже починаючи з 70-х років. З 1969-1970 р. істинний коефіцієнт збільшення менше, ніж 1, а коефіцієнт приросту моделі стабільного населення  негативний. За цими даними можна обчислити період зменшення населення в 2 рази. Це прогноз-застереження. Він указує на можливий близький перелом розширеного відтворення, його перехід у нову якість – звужене відтворення за умови збереження тенденцій, які діють зараз.

Основними методами демографічного прогнозування є методи, засновані на застосуванні тієї або іншої математичної функції, а також метод пересування за віком або метод компонент.

Методи, засновані на застосуванні математичних функцій

Основною сферою застосування методів цього класу є прогнозування чисельності населення невеликих територій (наприклад, регіонів тієї чи іншої країни), особливо тих, для яких не існує надійної демографічної статистики. Для прогнозування населення на рівні країни в цілому математичні методи застосовуються рідко, оскільки неврахування змін у компонентах зростання чисельності населення й у віково-статевій структурі, властиве цим методам, обумовлює виникнення істотних помилок прогнозу.

Таблиця 3.2.2.6  Динаміка й прогноз показників режиму відтворення населення України

Роки	Коефіцієнти природного приросту населення	Сумарний коефіцієнт плідності (діти)	Брутто-коефіцієнт плідності (дочки)	Середній коефіцієнт дожиття жінок у дітородному віці	Чистий сумарний коефіцієнт плідності (діти)	Нетто-коефіцієнт плідності (дочки)	Середня довжина жіночого покоління (років)	Істинний коефіцієнт збільшення населення	Коефіцієнт збільшення населення	Період подвоєння (зменшення в 2 рази) населення (роки)
t	Ке	K15-49 = F	R	K15-49	K0 = R0	R0	Xg	1 + r	r	t2S
1896-1897	17,4	7,5	3,66	0,538	4,04	1,97	30,06	1,022	2,2	31,7
1926-1927	20,7	4,90	2,39	0,682	3,34	1,6,1	29,2	1,017	1,7	41,2
1958-1959	7,2	2,30	1,12	0,928	2,14	1,04	27,5	1,002	0,2	350,0
1969-1970	6,3	3,077	1,04	0,950	1,97	0,960	26,7	0,999	0,1	344,4
1978-1979	3,5	2,010	0,981	0,950	1,910	0,932	25,7	0,977	-0,3	232,4
1990	1,665	2,004	0,978	0,950	1,904	0,929	25,1	0,977	-0,3	232,4
2000	-0,443	2,002	0,977	0,950	1,902	0,928	240	0,977	-0,3	232,4
2010	-2,880	2,001	0,976	0,950	1,899	0,927	24,6	0,976	-0,4	112,0

На регіональному ж рівні ймовірність таких помилок може бути зменшена за допомогою додаткової умови, яка полягає в тому, що сумарна чисельність населення регіонів не повинна відрізнятися від результатів прогнозу для країни в цілому. Останній, таким чином, виступає як контрольний параметр для прогнозування населення на регіональному рівні. Математичні методи іноді застосовуються також для аналізу історичної динаміки й прогнозування чисельності населення на глобальному рівні.

Математичні методи дозволяють одержати прогноз тільки загальної чисельності населення. Можливе прогнозування окремо чисельностей чоловіків і жінок, однак їхня сума може відрізнятися від прогнозу чисельності населення в цілому.

У минулому підходи до прогнозування населення були, явно або приховано, математичними за своєю природою. Застосування математичних методів припускає, що на основі наявних емпіричних даних про чисельність населення підбирається деяке математичне вираження, яке може бути використане для пророкування його майбутніх параметрів. Використання математичних методів має ряд недоліків. По-перше, вони дозволяють прогнозувати тільки загальну чисельність населення, але не дають можливості передбачати зміни його складу, наприклад, розподілу за віком, статтю, расою. По-друге, у випадку, якщо є багато фактичних даних (точок, побудованих на їх основі), підібране математичне вираження, як правило, не проходить через кожну з них, зокрема, і через останню. Це знижує надійність пророкування прогнозних значень. По-третє, математичний підхід припускає, що соціальні й економічні фактори, які визначили динаміку населення в минулому, збережуться в незмінному виді й у майбутньому.

Для прогнозування, в принципі, можуть застосовуватися різні математичні функції. Найбільш часто, однак, використовуються лінійна, експонентна й логістична функції. При цьому прогнозування, засноване на застосуванні лінійної й експонентної функцій, іноді чисто умовно називають екстраполяційним методом, а прогнозування, засноване на застосуванні логістичної та інших функцій, – аналітичним методом.

Екстраполяційний метод

Екстраполяційний метод заснований на прямому використанні лінійної й експонентної функцій, тобто даних про середньорічні абсолютні зміни чисельності населення за період або про середньорічні темпи зростання чи приросту. Якщо ці показники відомі, то можна розрахувати чисельність населення на будь-яке число років уперед, просто припустивши їхню незмінність протягом усього прогнозного періоду.

Один з найпростіших способів прогнозування заснований на припущенні про те, що середньорічні абсолютні прирости чисельності населення, розраховані для звітного періоду часу, збережуться й у майбутньому.

Інакше кажучи, у цьому випадку для перспективного розрахунку застосовується лінійна функція:

, (3.2.2.11)

де Н₀, Н_t – чисельність населення відповідно в моменти часу 0 й t;

∆ – абсолютний середньорічний приріст;

t – час у роках.

Наприклад, нам відома чисельність населення N-ої області за даними переписів населення 1979 р. й 1989 р. (2618 тис. чол. й 2782 тис. чол. відповідно). Потрібно визначити чисельність населення N-ої області на 1.01.2000 р. при припущенні незмінності її абсолютних середньорічних приростів. Для цього спершу розрахуємо величину абсолютних середньорічних приростів:

тис. чол.

Чисельність населення N-ої області на 1.01.2000 р. буде дорівнювати:

Н₂₀₀₀ = 2782 + 16,4 – 11= 2962,4 тис. чол.

У реальності для прогнозування чисельності населення лінійна функція практично не використовується, оскільки припущення про незмінність абсолютних середньорічних приростів може бути відносно вірним тільки для дуже коротких періодів часу (не більше 5 років).

Більш реалістичним є припущення про незмінність середньорічних темпів приросту чисельності населення, особливо при допущенні незмінних рівнів народжуваності й смертності та відсутності міграції. У цьому випадку мова йде про використання в прогнозуванні експонентної функції:

, (3.2.2.12)

де r – середньорічні темпи приросту;

t – час у роках;

е – основа натуральних логарифмів.

Застосуємо цю формулу для оцінки чисельності населення N-ої області на 1.01.2000 р., використовуючи наведені вище дані. Розрахуємо, насамперед, середньорічні темпи приросту:

Визначимо чисельність населення N-ої області на 1.01.2000 р., використовуючи обчислене значення середньорічних темпів приросту:

тис. чол.

Як видно, розрахунок за експонентною функцією дав для N-ої області більшу чисельність на 1.01.2000 р., ніж розрахунок за лінійною функцією. Це відображає більшу швидкість зміни у випадку зростання за експонентою. Проте для коротких періодів (не більше 15 років) застосування обох функцій дасть подібні результати. Однак у випадку, якщо має місце зменшення чисельності населення, як зараз відбувається в більшості регіонів України, то більш кращим є використання експонентної функції, тому що це гарантує, що чисельність населення не стане негативною. Екстраполяційний метод застосовуємо тільки при відсутності різких коливань народжуваності, смертності й міграції.

Аналітичний метод

Аналітичний метод заснований на тому, що виходячи з минулої демографічної динаміки, підбирається функція, яка найбільш близько її описує. У принципі це може бути будь-яка функція. Однак у кожному разі ця функція носить емпіричний характер, і не існує ніякого загального математичного закону демографічної динаміки.

Математичні вираження, які використаються для опису зростання населення, є за необхідністю емпіричними; не може бути знайдено ніякого закону зростання населення, хоча деякі математичні рівняння визначалися саме як такий закон. При побудові рівняння або кривої, які відповідають даним переписів населення, в одному випадку виходять із припущення, що чисельність населення є поліноміальною статечною функцією від часу: P_t = a + bt + ct² + dt³ + ..., де константи а, b, c, d, ... оцінюються за допомогою підходящої техніки, наприклад, за допомогою методу найменших квадратів. Якщо оцінюються тільки константи а й b, то одержуємо просто лінійну функцію; додавання інших констант означає перехід до квадратичної параболи або до парабол більше високих порядків.

Конкретний вид функції підбирається, виходячи з виду емпіричної кривої, а також гіпотези про зв'язок чисельності населення із часом як незалежною змінною. Якщо ж припустити, що зміна чисельності населення за нескінченно малий проміжок часу є функцією чисельності населення, то одержують інші математичні вираження.

Одним з них є експонентна функція з ненульовим постійним членом, або ріст (збиток) населення в геометричній прогресії.

Іншим прикладом такого роду функцій є широко застосовувана в перспективному вирахуванні чисельності населення логістична функція (крива Ферхюлста-Пірла-Ріда), особливість якої полягає в тому, що її збільшення зменшується по мірі зростання чисельності населення. Зупинимося трохи докладніше на цій функції, з огляду на її роль в історії демографії.

Логістична функція виражається такою формулою:

, (3.2.2.13)

де Н_t – чисельність населення в момент часу t;

b – постійна інтеграції;

1/а – якась гранична чисельність, до якої асимптотично наближається чисельність населення зі зростанням t;

u – параметр, що визначає конкретний вид кривої.

Логістична крива симетрична щодо точки перегину, яка дорівнює 1/2а. При малих значеннях Н темпи його приросту практично постійні й рівні приблизно 1. З іншого боку, якщо значення Н великі й близькі до 1/a, темпи його приросту стримляться до 0.