Тема 5. Таблиці дожиття і середньої очікуваної тривалості життя.

1. Таблиці смертності. Табличні коефіцієнти смертності.

2. Показники тривалості життя.

1 Таблиці смертності.

Таблиці смертності – це перший і, мабуть, найпоширеніший і важливий вигляд демографічних таблиць. Саме з розробкою Дж. Граунтом першої у світі таблиці смертності зв'язують виникнення демографії як науки.

Беручи до уваги, що з кожних 100 народжених приблизно 36 не доживають до шестирічного віку і що, можливо, один доживає до 76 років, ми, маючи 7 десятиліть між 6 й 76 роками, намагалися знайти 6 проміжних пропорційних чисел між 64, що доживають до 6 років, і тих, що доживають до 76 років. Ми знайшли, що нижченаведені числа досить близькі до істини: з кожних 100 народжених умирають у межах перших 6 років – 36. Протягом наступних 10 років або другого десятиріччя – 24. Протягом третього десятиріччя – 15. Протягом четвертого десятиріччя – 6. Протягом п'ятого десятиріччя – 4. Протягом шостого – 3. Протягом сьомого – 2. І протягом восьмого – 1.

Звідси виходить, що зі згаданих 100 тих, що народились в 6 років залишається в живих 64; в 16 років – 40; в 26 років – 25; в 36 років – 16; в 46 років – 10; в 56 років – 6; в 66 років – 3; в 76 років – 1; 80 років – 0.

Таблиці смертності (дожиття) – це числові моделі смертності, які служать для характеристики її загального рівня і вікових особливостей у різних населеннях. Вони є системою впорядкованих за віком і взаємозалежних між собою рядів чисел, які у своїй сукупності описують процес вимирання деякого теоретичного покоління з фіксованою початковою чисельністю (корінь таблиці). Звичайно її приймають рівною деякому ступеню 10, тобто 10000, 100000, 1000000 і т.п. Найчастіше за корінь таблиці смертності приймають 100000.

У демографії розрізняють таблиці смертності для реального й умовного покоління.

Залежно від шагу тимчасової шкали розрізняють повні (шаг  1 рік) і скорочені (шаг  5 або 10 років) таблиці.

Показники (функції) таблиць смертності діляться на інтервальні й кумулятивні. Перші характеризують смертність на даному інтервалі віку, другі – за весь період життя до або після даного точного віку.

Показники (функції) таблиць смертності зв'язані між собою певними співвідношеннями. Всі вони можуть бути обчислені майже з кожного з них, але звичайно за вихідний приймається той, який найбільш простим і ясним чином характеризує процес смертності й легше всього виходить зі статистичних даних про смертність. Таким показником є інтервальна ймовірність умерти у віці (х, х + n) років, найбільш природним образом пов'язана з повіковими коефіцієнтами смертності. Звичайна побудова таблиць смертності починається саме із цього показника. І всю історію розвитку методів такої побудови можна розглядати як удосконалювання методів переходу від повікових коефіцієнтів смертності до табличних інтервальних імовірностей смерті у віці (х, х + n) років.

Табличні коефіцієнти смертності

Побудова таблиць смертності є, в принципі, нескладною, але досить трудомісткою обчислювальною процедурою. Вона містить у собі кілька етапів:

• розрахунок значень вихідного показника для всіх віків на основі даних статистики смертності (розподілу померлих за віком);

• якщо необхідно, обробку цього ряду значень для усунення перекручувань, викликаних віковою акумуляцією;

• інтерполяцію ряду значень для усунення можливих пропусків або екстраполяцію для розрахунку значень для самих старших віків;

• обчислення інших функцій таблиці смертності.

Основна методична проблема побудови таблиць смертності пов'язана з переходом від реальних показників повікової смертності до табличних ймовірностей умерти в даному віці, тобто від m_x до q_x.

Методи побудови таблиць смертності займають велике місце в демографії. Можна повторити вже сказане вище, що історія демографії значною мірою збігається з історією розробки й удосконалювання цих методів.

Сучасні таблиці смертності розраховуються за допомогою так званого непрямого, або демографічного методу. Демографічний метод названий так тому, що в його основі лежать дані про повікову смертність, а також про віково-статеву структуру населення, одержувані під час переписів і поточного обліку. Непрямим цей метод названий, щоб протиставити його так називаному прямому методу, або, інакше, методу Р. Бека, заснованому на безпосередньому розрахунку показників таблиці смертності в ситуації, коли відомий розподіл смертей на елементарні сукупності сітки Лексиса.

Вихідним показником тут служить повіковий коефіцієнт смертності, який прирівнюється до табличного коефіцієнта смертності і на основі якого визначаються всі функції таблиці смертності, починаючи, зрозуміло, з імовірності вмерти у віці х років. Демографічний метод дозволяє будувати таблиці смертності, які найбільш адекватно відображають її рівень. При цьому на величину підсумкових показників не впливають коливання чисел народжених і померлих у роки, які передували розрахунку.

Проблема, пов'язана з переходом від повікових коефіцієнтів смертності до імовірностей смерті на віковому інтервалі (х, х + 1) років, полягає в тому, що перші, як відомо, розраховуються стосовно років, прожитих населенням на цьому віковому інтервалі, або до його наближення, тобто середньорічного населення. Другі ж розраховуються стосовно чисельності населення на початку вікового інтервалу. Щоб побудувати таблицю смертності, треба встановити співвідношення між ними, тобто між m_x й q_x Інакше кажучи, потрібно перейти від m_x до q_x.

Припустимо Н_x – число тих, що доживають до віку х років у реальному населенні. Із цього числа до наступного віку (x + 1) років не доживе С_x. Тоді, за визначенням:

(2.3.2.1)

Разом з тим повіковий коефіцієнт смертності m_x дорівнює відношенню С_х, до числа людино-років, прожитих Н_x протягом інтервалу (х, х + 1). Це число людино-років, у свою чергу, дорівнює сумі двох доданків:

Перший доданок – (Н_x – С_х), тобто число людино-років, прожитих на цьому інтервалі віку тими, хто дожив до віку (х, х +1).

Другий доданок – число людино-років, прожитих на цьому інтервалі віку тими, хто не дожив до віку (х, х + 1), тобто вмер на цьому інтервалі віку. Це число дорівнює а'_хС_х.

Звідси або, з огляду на те, що число людино-років дорівнює середньорічному населенню .

Останнє вираження  знайома формула розрахунку повікового коефіцієнта смертності.

Розв’яжемо рівняння відносно Н_x:

(2.3.2.2)

Підставимо це вираження в наведену вище формулу для q_x:

(2.3.2.3)

Якщо чисельник і знаменник цього вираження розділити на , то одержимо шукане базисне співвідношення між q_x й m_x:

(2.3.2.4)

Величини a₀, a₁.. варіюють від країни до країни залежно від рівня смертності. Для країн, що розвиваються, у яких смертність висока, звичайно приймається а₀ = 0,3, а₁ = 0,4 й 0,5 для всіх інших. Там же, де смертність низка, найкращою величиною для а₀ є 0,1. У цілому обрана величина не є критичною, за винятком а₀. Більше того, є альтернативний шлях визначення q₀ без використання вищенаведеної формули. Мова йде про просте прирівнювання q₀ до коефіцієнта дитячої смертності.

Наведене вище рівняння є фундаментальним для побудови сучасних таблиць смертності. Знаючи всі q_x і вибравши корінь таблиці смертності l₀, можна, використовуючи наведені вище співвідношення між ними, побудувати всі інші функції таблиць смертності.

Ідея й метод побудови скороченої таблиці смертності аналогічні тільки що розглянутим для повних таблиць смертності. Різниця тільки в довжині вікового інтервалу. Довжина типового i-того інтервалу віку (x_i, х_{i + 1}) у скорочених таблицях дорівнює n_i = х_{i + 1} – x_i, тобто перевищує 1 рік. Найчастіше вона дорівнює 5 рокам. Істотним елементом тут є середня частка цього інтервалу, прожита тими, хто вмер у цьому віковому інтервалі.

Ця частка, позначувана a_i, є узагальненням розглянутої вище частки а`_x останнього року життя. Визначення цієї частки є окремим завданням, яке може розв’язуватися по-різному. У цілому, на щастя, за винятком наймолодших віків, вибір величини а, не є критичним для побудови скорочених таблиць смертності. Звичайно конвенціонально приймається, що а₀ = 0,1 для країн з низькою смертністю й 0,3 – для країн з високою смертністю, а₁ = 0,4. Всі інші значення цього параметра приймаються рівними 0,5 для всіх інших вікових інтервалів.

Разом з тим величина a₁ не залежить від конкретних значень коефіцієнта смертності на рік, для якого розраховується скорочена таблиця смертності, а визначається лише тенденцією зміни ймовірності смерті усередині вікового інтервалу (x_i, х_{i + 1}) і може бути розрахована на підставі даних про однорічні ймовірності смерті. Наявність спеціальних комп'ютерних програм побудови таблиць смертності робить розрахунок цього параметра тривіальним завданням.

Розрахуємо скорочену таблицю смертності (таблиця 2.3.3.1) за допомогою нижченаведеної пошагової процедури.

Шаг 1. Розраховуємо довжину вікового інтервалу (x_i, х_i+1). Для інтервалу 0-1 рік вона дорівнює 1 року; для інтервалу 1-4 роки вона дорівнює 4 рокам; для всіх інших – 5 рокам.

Шаг 2. Переводимо значення повікових коефіцієнтів смертності із проміллє у відносні частки одиниці.

Шаг 3. З огляду на величину параметра a_i, визначаємо q_i – імовірність умерти на віковому інтервалі (x_i, х_{i + 1}). При цьому для інтервалу 0-1 рік приймаємо значення q₀, яке дорівнюється коефіцієнту дитячої смертності.

Шаг 4. За допомогою ітеративного процесу розраховуємо числа тих, що вмирають (d_i) на віковому інтервалі (x_i, х_{i + 1}) і числа тих, що доживають (l_i) до точного віку, років. При цьому l₀ приймаємо рівним 10000 (з огляду на точність повікових коефіцієнтів смертності); d₀ = l₀q₀ й l₁= l₀ – d₀. Потім вся процедура повторюється для кожного вікового інтервалу (x_i, х_{i + 1}), крім останнього відкритого інтервалу 85 років і більше. На цьому інтервалі ймовірність смерті дорівнює одиниці, тому d₁₈ = l₁₈.

Шаг 5. Розраховуємо за наведеними вище формулами кількість тих, що живе (L_i) на віковому інтервалі (x_i, х_{i + 1}). Для останнього відкритого вікового інтервалу 85 років і більше ця величина дорівнює:

, (2.3.2.5)

де – повіковий коефіцієнт смертності для цього вікового інтервал.

Шаг 6. Розраховуємо загальне число людино-років, яке має бути прожито тими, що дожили до початку вікового інтервалу (x_i, х_{i + 1}) років (до точного віку х років). Ця величина дорівнює сумі всіх L_i, від i до ω (у цьому випадку до 18).

Шаг 7. Розділивши L_i на l_i одержимо середню очікувану тривалість майбутнього життя для тих, що дожили до початку вікового інтервалу (_xi, хi + 1) років (до точного віку х років), e_i.

Побудову скороченої таблиці смертності закінчено.

У передостанній графі таблиці наведені офіційні дані про величину e_i, опубліковані в 1998 році, а в останньому – різниця значень цього показника, розрахованих нами, і офіційних. Як видно, вони близькі один до одного, хоча наш розрахунок показав трохи більші, ніж офіційні, значення середньої очікуваної тривалості життя для віків від 0 до 59 років. Для старших же віків, навпроти, розрахункові значення менше офіційних. Повного збігу не може бути, оскільки офіційні дані розраховуються на підставі повних таблиць смертності.

У сучасних умовах розрахунок таблиць смертності, як скорочених, так і повних, значно спростився й став набагато менш трудомістким, ніж раніше. Розроблено спеціальні пакети програм й електронні таблиці, які дозволяють всі процедури розрахунку таблиць смертності звести до простого введення її повікових коефіцієнтів і деяких інших параметрів, Прикладом таких пакетів є Mort-Pak, прикладом електронних таблиць – LTPOPDTH й LTMXQXAD з комплекту PAS.