5. Случайные погрешности обработки и законы рассеивания действительных размеров деталей

Колебания твердости обрабатываемого материала и величины припуска заготовок одной партии, усилий закрепления приводят к появлению случайных погрешностей, обусловленных изменением сил резания, температуры, износа инструмента и положения заготовки.

В результате действия случайных погрешностей при обработке партии деталей на настроенном станке действительный размер детали является случайной величиной, при­нимающей любое значение в границах определенного интервала.

Совокупность значений действительных размеров деталей, обработанных при не­изменных условиях и расположенных в возрастающем порядке с указанием частоты ияи относительной частоты повторения этих размеров, называется распределением размеров деталей.

Распределение размеров деталей может быть представлено в виде таблиц или графиков.

Например, по данным лабораторных работ, выполненных в БГТУ, после измерения 100 шт. деталей, обработанных на токарном станке до диаметра 0 40 мм, их действи­тельные размеры распределились следующим образом (табл. 2.1).

Распределение размеров таких деталей может быть представлено в виде гистограм­мы и графика (рис. 2,25).

В результате перевода таблицы в рисунок получается гистограмма распределения размеров I. Если соединить между собой соседние точки, соответствующие середине каждого интервала, то образуется график, который носит название кривой распределе­ния размеров 2.

При разных условиях обработки деталей рассеивание их действительных размеров подчиняется различным математическим законам.

В технологии машиностроения большое практическое значение имеют: закон нор­мального распределения или закон Гаусса, закон равной вероятности, закон Симпсона, закон Релея и композиция этих законов.

2Л. Распределение действительных размеров деталей

Интервал, мм	Количество деталей т	Относительное количество деталей mitt
40 ...40,05	3	0,03
40,06 ... 40,10	■it-	0,07
40,11 ...40,15	15	0,15
40,16 ... 40,20	22	0,22
40,21 ... 40,25	?5	0,25
40,26 ... 40,30	18	0,18
40,30 ... 40,35	6 ;	0,06
40,36 ... 40,40	4	0,04

Рис. 2.25. Гистограмма и график распределения размеров деталей

Закон нормального распределения Закон нормального распределения имеет место, если:

1. на рассеивание размеров влияет большое число взаимно независимых случай­ных величин;

2. влияние каждого фактора на размер детали мало и примерно одинаково по своей величине.

Уравнение кривой нормального распределения имеет следующий внд:

'■у -Ур)~

Y =—!=е ²°² (2.49)

оу2л

где I, - текущий действительный размер заготовки; - среднее арифметическое дейст­вительных размеров деталей данной партии.

Ц,=-Х^. (2-50)

^пы

п - количество деталей в партии; е - основание натурального логарифма.

сг- среднее квадратическое отклонение размера

(2.51)

Кривая нормального распределения предстаалена на рис. 2.26. На этом рисунке

т,

относительная частота определенного г-го размера.

л

При L, = L_cр из уравнения (2.49) получим: '*>■

ТЕХНОЛОГИЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ 2

-fcf¹ 19

IA 23

р,=£,7‘/^т> о-²⁴) 25

IX.; 29

^=^⁸в,^+е£^+ввд.д С²-¹¹) 44

Т7 46

p=i>,/«. (^злб) 75

I 97

I 101

^z.„. -IX 118

7. 149

^к, 149

ПИ 174

(м.) 186

На расстоянии ±с от среднего размера кривая имеет две точки перегиба, при этом

я а^2лп г-

(2.53)

Из рисунка и из уравнений видно, что о является мерой рассеивания действитель­ных размеров, т.е. мерой точности. При увеличении а количество деталей, имеющих средний размер, уменьшается, а поле рассеивания размеров Д = бст увеличивается (кри­вая 3), в результате чего кривая становится более пологой и низкой, что свидетельствует о большем рассеивании размеров и, следовательно, меньшей точности.

Чем меньше а, тем меньше рассеивание размеров, тем больше точность обработки (кривая 2).

Теоретически кривая закона нормального распределения, как следует из уравне­ния (2.49), симметрична относительно оси ординат. Однако на практике часто распреде­ление размеров обработанных деталей имеет форму кривой, отклоняющейся от формы теоретической кривой нормального распределения. Оценка этих отклонений производится при помощи коэффициента асимметрии а и коэффициента крутости или эксцесса т.

mi

п

+3g

+3с

,<S_r ^ с

U

^ J

Рис. 2.26. Кривые нормального распределения при различных о

Закон нормального распределения (закон Гаусса) в большинстве случаев оказыва­ется справедлив при обработке деталей резанием с точностью 8,9 ,10 квалнтетов.

Закон равной вероятности

Рис. 2.27. Графическое изображение закона равной вероятности

Рассеивание действительных размеров партии обработанных деталей подчиняется закону равной вероятности, если рассеивание размеров зависит только от одного, так называемого доминирующего фактора, например, износа режущего инструмента.

Так как износ инструмента дает изменение длины резца во времени по линейному закону (рис. 2.27, я), то приращение размера обрабатывае­мых деталей также подчиняется закону прямой ли­нии, т.е. закону равной вероятности (рис. 2.27, б). Рассеивание размеров в этом случае определяется уравнением

Д = 2э/3а . (2.54)

Распределение размеров обработанных деталей, как правило, подчиняется закону равной вероятно­сти при их изготовлении с особо высокой точностью < 5 квалитета.

Закон Симпсона

При наличии совместных погрешностей обработки, связанных с недостаточной жесткостью технологической системы и другими причинами, фактическое распределе­ние размеров может подчиняться закону Симпсона (рис. 2.28). ¹⁷

Фактическое поле рассеивания размеров в этом случае определяется из выражения

Д = 2э/бо. (2.55)

Распределение действительных размеров деталей по закону Симпсона встречается при обработке по 6, 7, 8 квалитетам.

Закон Релея

Этому закону, как правило, подчиняется распределение таких погрешностей, как биение, эксцентриситет, эллиптичность, ошибка в шаге резьбы. Графически он изобра­жен на рис. 2.29.

где R - эксцентриситет или биение; а - среднее квадратическое отклонение значений координат X и Z.

Уравнение кривой распределения Релея имеет следующий вид:

Особенностью этого распределения является то, что в основе его лежит нормальное распределение, так как координаты X и Z эксцентриситета R распределены по нормально­му закону, а распределение самого эксцентриситета не является нормальным (рис. 2.30)

о_я = 0,655с.

Фактическое поле рассеивания размеров деталей при их распределении по закону Релея

Д = 3,44о.

Г

ЗсГ 2

О 1 2 За £

Рис. 2.31. Графическое изображение композиций закона нормального распределения и равной вероятности