Кривая рассеяния при малых значениях q. Аппроксимация Гинье, интенсивность прямого рассеянного излучения и радиус инерции

Разложив (sin Qr_jk)/ Qr_jk в уравнении Дебая в ряд по степеням Qr_jk, получим (для одиночной частицы):

Для простоты формул опустим 2 и подставим первые два члена разложения в формулу для I(s):

Имея в виду, что первое слагаемое - это выражение для I(0), получаем:

Е2.7

R_g в данной формуле является радиусом инерции тела, массовое распределение в котором выражается электронной плотностью:

(E2.7)

Отметим, что по механической аналогии R_g является радиусом инерции распределения m_j. Это также можно записать так:

(Е2.8)

где r_j есть расстояние всех элементов частицы m_j от центра тяжести (см. Приложение 1).

Еще одно замечание: радиус инерции всегда представлен в уравнениях как его квадрат . Это важный результат. Поскольку амплитуды, m_j бывают как положительными, так и отрицательными, мы можем получить физически значимые отрицательные значения .

Два уравнения известны как аппроксимация Гинье:

(Е2.9)

Они верны для кривой рассеяния частицы любой формы при условии, что QR_g меньше либо равно приблизительно 1.

Кривые рассеяния для сферы и вытянутого эллипсоида с отношением осей 1:1:5 приведены на рис. Е2.2. Там же показана гауссова функция, соответствующая аппроксимации Гинье. Чтобы проследить влияние формы частицы независимо от её абсолютного размера, кривые построены в виде функции произведения QR_g.

Аппроксимация Гинье (длина Гинье-участка) действительна для больших или меньших значений QR_g в зависимости от формы частицы. Так, для эллипсоидов с отношением осей примерно 1:1:1.7 (вытянутый) или 1:1:0.6 (сплюснутый) аппроксимация является хорошей при значениях QR_g, выходящие далеко за пределы 1. Напротив, для более компактных форм (например, сферы, − самой компактной формы) кривая рассеяния отклоняется ниже аппроксимации Гинье, в то время как для более асимметричных форм (таких как удлиненные или сплюснутые эллипсоиды с отношением осей 1:1:>1.7 или 1:1:<0.6, соответственно: например, 1:1:5 изображенный на рисунке) кривая рассеяния отклоняется выше аппроксимации Гинье.

Контрастная амплитуда и закон Архимеда.

Под термином «контрастная амплитуда» m_j мы будем понимать разность между амплитудой рассеяния частицы и растворителя. В общем случае, значения m_j = (f_j − ρ_{o j}) могут быть положительными или отрицательными, что иногда приводит к отрицательному значению квадратa радиуса инерции ( ) в уравнении Е2.9. Этому имеется механическая аналогия, если мы рассмотрим частицу, погруженную в жидкую среду. Эффективная масса ее компонентов содержит член выталкивающей силы по закону Архимеда m_эфф = (m_i − ρ_oj ), где члены m_i теперь соответствуют инерционным массам, а ρ_o – массовой плотности раствора.

Отрицательное значение эффективной массы получается, например, в случае пробкового материала в воде, который не тонет, а всплывает под действием выталкивающей силы.

Интересно отметить, что центр масс частицы, состоящий из положительных и отрицательных масс, может находиться за пределами частицы. Рассмотрим ниже пример для одномерного случая, когда частица массой m = +2 находится на расстоянии +a, a частица с массой m = –1 на расстоянии – а.

Центр масс обеих частиц может быть найден из выражения

и, согласно расчету, находится за пределами частицы при X = +3а.

Квадрат радиуса инерции частицы равен:

Отрицательная величина квадрата радиуса инерции, получается на вполне правдоподобной физической модели − такой как, например, палка под водой со свинцовым шаром на одном конце и пробковым материалом на другом, или частица с частями положительной и отрицательной амплитуды.

Рис. Е2.2. Кривые рассеяния сферы и эллипсоида вращения в зависимости от QR_g; также показана кривая Гинье гауссовой функции. R_g – это радиус инерции в каждом случае. Следует обратить внимание, что все кривые совпадают с аппроксимацией Гинье при малых значениях QR_g

При интерпретации экспериментальных данных полезно построить кривую рассеяния в координатах ln I(Q) в зависимости от Q² (Рис. Е2.3). Затем прямую линию наложим на район, где действительна аппроксимация Гинье. Тогда прямая дает нам два экспериментальных параметра, ее пересечение в Q = 0 (путем экстраполяции) и ее угловой коэффициент, из чего по уравнению Е2.9 мы можем рассчитать:

I (0) = exp (отрезок)

и

= − 3×наклон

Когда раствор эффективно разбавлен и монодисперсный, контрастная амплитуда рассеяния ∑_jm_j и ее радиус инерции рассчитываются, соответственно, из пересечения и углового коэффициента аппроксимации Гинье и массовой концентрации частиц. Соотношение между контрастной амплитудой рассеяния и молярной массой легко определяется из химического состава частицы и растворителя.

Расчет молекулярной массы.

Для частицы с известным составом мы можем рассчитать eё контрастную амплитуду на единицу молярной массы: , где а f_j – амплитуды атомного рассеяния, ρ_o – плотность растворителя, а V – объем частицы. Последний (в см³) нетрудно рассчитать из V = M /N_A, где M – масса в граммах на моль, а – парциальный удельный объём в кубических сантиметрах на грамм. Как правило, хорошим приближением является значение между 0,73 и 0,75 для парциального удельного объема любого белка.

M − это не всегда молярная масса частицы в растворе. Например, если частица является димером, ее молярная масса в растворе составляет 2M. В общем случае мы можем обозначить массу частицы в растворе M' . Объединяя уравнения (Е2.5) и (Е2.7) и проведя соответствующие подстановки, получаем:

(А)

Таким образом, для монодисперсного раствора невзаимодействующих частиц с известным составом и парциальным удельным объемом интенсивность рассеянного излучения, экстраполированная на нулевой угол, и разделенная на концентрацию, будет пропорциональна молярной массе. Отметим, что как I_N(0), так и C должны быть известны в абсолютных единицах. В случае малоуглового нейтронного рассеяния для абсолютной калибровки используется рассеяние воды (Jacrot and Zaccai, 1981), a для рентгеновского рассеяния − калиброванные образцы специального вещества − люполена.

Аппроксимация Гинье позволяет исследователю независимо и одновременно определить молярную массу частицы в растворе (через значение I(0) и концентрацию для определения, например, ее олигомерного состояния при данном состоянии раствора) и ее пространственную протяженность (через значение ). Это нетривиальная информация. Аналитическое центрифугирование определяет либо молекулярную массу (в эксперименте по седиментационному равновесию), либо параметр, связанный с молекулярной массой − коэффициент поступательного трения (константа седиментации в эксперименте по скоростному осаждению). Методы фильтрации в геле определяют молярную массу косвенно посредством измерения того, что, по сути, является коэффициентом диффузии, и сопоставления с таковыми для известных частиц. Если форма частиц, по которым проводится сравнение, отличается от формы неизвестной частицы, то измеренное значение молярной массы будет некорректным.

Рис. Е2.3. Зависимость ln I(Q) от Q² в аппроксимации Гинье. В примере показаны данные по малоугловому рассеянию нейтронов для комплексa серил-тРНК-синтетаза и серил-тРНК. Радиус инерции, определенный из наклона кривой в интервале Q от 0.012 °A⁻¹ до 0.043 °A⁻¹, составил 28.7 ± 0.2Å. Таким образом, соответствие теории и эксперимента наблюдается в диапазоне 0.33 < QR_g < 1.23. Значение I(0), рассчитанное из пересечения прямой с осью ординат, и уже известная концентраций белка и тРНК, соответствуют молярной массе, ожидаемой для комплекса в соотношении 1: 1