4.7.2 Метод Зейделя

Отличие метода Зейделя от метода простой итерации состоит лишь в том, что при вычислении (k+1)-ого приближения ранее полученные приближения сразу же используются в вычислениях. В координатной форме итерационный процесс Зейделя имеет вид:

(4.17)

Достаточное условие сходимости метода Зейделя можно получить, записав матричную форму итерационного процесса:

и проведя некоторые преобразования:

Рассматривая последнее выражение как запись итерационной схемы метода простой итерации для системы уравнений , можно записать достаточное условие сходимости метода Зейделя в виде

, или .

Здесь –

нижняя и верхняя треугольные части матрицы В, соответственно,

В формулах априорной и апостериорной оценки точности этого метода B заменяется на B₁.

Сразу виден недостаток этого способа оценки – его громоздкость (необходимо искать вспомогательные матрицы, обратную матрицу, проводить перемножение матриц – и все это для получения только достаточного условия сходимости).

Укажем один практический прием преобразования исходной системы Ах=b в систему вида x=Bx+d с гарантией сходимости итерационного процесса метода Зейделя.

Умножим левую и правую части исходной системы на транспонированную матрицу А^Т. Получим систему вида Сx=d, где C=A^TA; d=A^Tb. Эта система называется нормальной.

Ее свойства:

1. матрица С является симметрической (с_ij = c_ji);

2. все элементы главной диагонали матрицы С положительны: с_ii >0.

После этого проведем уже знакомое нам преобразование: делим каждое уравнение нормальной системы на соответствующий диагональный элемент.

Получаем так называемую приведенную систему

, где ,

и уже для приведенной системы записываем итерационный процесс Зейделя

.

x⁽⁰⁾ = d

Целесообразность осуществления описанных преобразований вытекает из того, что имеет место теорема:

Итерационный процесс Зейделя для приведенной системы, эквивалентной нормальной системе, всегда сходится к единственному решению этой системы при любом выборе начального приближения [1].

Пример 4.

Тогда

,

.

Нормальная система: Приведенная система:

.

Итерационная схема Зейделя:

.

4.7.3 Метод релаксации

Преобразуем исходную систему уравнений следующим образом: перенесем свободные члены в левую часть и разделим первое уравнение на – а₁₁, второе – на – а₂₂ и так далее, то есть на диагональные элементы, взятые с противоположными знаками.

Получим систему, приготовленную к релаксации:

.

Здесь

Выберем начальное приближение к решению – вектор и подставим его в преобразованную систему. Естественно, левые части будут отличаться от нуля. Вычислим так называемые невязки:

.

Замечаем, что если одной из неизвестных дать приращение , то соответствующая невязка уменьшится на величину , а все остальные невязки (i  k) увеличатся на величину . Таким образом, чтобы обратить очередную невязку в нуль, достаточно величине дать приращение и тогда будем иметь . Остальные невязки (при i  k ) получат значения .

Метод релаксации (или ослабления) заключается в том, что на каждом шаге обращают в нуль максимальную по модулю невязку путем изменения значения соответствующей компоненты приближения. Процесс заканчивается, когда все невязки последней преобразованной системы будут равны нулю с заданной точностью.

Пример 5.

Задаем . Тогда . Максимальная невязка равна 0,8. Тогда, согласно методу релаксации, полагаем и получаем первые невязки:

.

Максимальная невязка равна 0,86. Полагаем и получаем вторые невязки и так далее. Значение корней получаются суммированием всех приращений . В рассматриваемом примере решение точное и сложится из следующих поправок:

х₁ = 0+0,93+0,07=1,0;

x₂ = 0+0,86+0,13+ 0,01=1,0;

x₃ = 0,80+0,18+0,02 = 1,0.