Довідково: Середні величини і критерії різноманіття варіаційного ряду

Оцінити розмір ознаки в сукупності, що змінюється по своїй величині, дозволяє лише його узагальнююча характеристика, звана середньою величиною. Для детальнішого аналізу сукупності, що вивчається, за якою-небудь ознакою окрім середньої величини необхідно також обчислити критерії різноманітності ознаки, які дозволяють оцінити, наскільки типова для даної сукупності її узагальнююча характеристика.

1. Визначення варіаційного ряду

Варіаційний ряд - це числові значення ознаки, представлені в ранговому порядку з відповідними цим значенням частотами.

2. Основні позначення варіаційного ряду

V — варіанта, окреме числове вираження досліджуваної ознаки;

р — частота ("вага") варіанти, кількість її повторів у варіаційному ряді;

n — загальна кількість спостережень (тобто, сума всіх частот, n = Σр);

V_max і V_min — крайні варіанти, що обмежують варіаційний ряд (ліміти ряду);

А — амплітуда ряді (тобто різниця між максимальною і мінімальною варіантами, А = V_max — V_min)

3. Види варіації

а) простий — це ряд, в якому кожна варіанта зустрічається по одному разу (р=1);

6) зважений — ряд, в якому окремі варіанти зустрічаються неодноразово (з різною частотою).

4. Призначення варіаційного ряду

Варіаційний ряд необхідний для визначення середньої величини (М) і критеріїв різноманіття ознаки, яка підлягає дослідженню (σ, С_v).

5. Середня величина — це узагальнююча характеристика розміру ознаки, що вивчається. Вона дозволяє одним числом кількісно охарактеризувати якісно однорідну сукупність.

6. Методика розрахунку простої середньої арифметичної

• Сумувати варіанти: V₁+V₂+V₃+...+V_n = Σ V;

• Суму варіант поділити на загальну кількість спостережень: М = Σ V / n

7. Методика розрахунку зваженої середньої арифметичної (табл. 1)

• Отримати добуток кожної варіанти на її частоту — V_p

• Знайти суму добутків варіант на частоти: V_1p1 + V_2p2+ V_3p3 +...+ V_npn = Σ V_p

• Отриману суму розділити на загальну кількість спостережень: М = Σ V_p / n

8. Методика розрахунку середнього квадратичного відхилення (див. табл. 1)

• Знайти відхилення (різницю) кожної варіанти від середньої арифметичної величини ряду (d = V — М);

• Підняти кожне з цих відхилень до квадрату (d²);

• Отримати добуток квадрата кожного відхилення на частоту (d²р);

• Знайти суму цих відхилень: d²₁p₁ + d²₂p₂ + d²₃p₃ +...+ d²_np_n = Σ d²р;

• Отриману суму розділити на загальну кількість спостережень (при n < 30 в знаменнику n-1): Σ d²р / n

• Добути квадратний корінь: σ = √Σ d²р / n

при n < 30 σ = √Σ d²р / n-1

9. Застосування середнього квадратичного відхилення

• для реконструкції варіаційного ряду, тобто відновлення його частотної характеристики на основі правила "трьох сигм". В інтервалі М±3σ знаходиться 99,7% всіх варіант ряду, в інтервалі М±2σ — 95,5% і в інтервалі М±1σ — 68,3% варіант ряду;

• для розрахунку коефіцієнта варіації;

• для розрахунку середньої помилки середньої арифметичної величини.