Задания к лабораторной работе

Методом Эйлера найти численное решение следующих задач Коши (по выбору преподавателя из каждого варианта выбираются две задачи: одна для составления программы, другая – для ручного расчета):

1. a) y′ – = x², y(1) = 0;

b) y′ + xy = (1 + x) e^–x y², y(0) = 1;

c) Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей его среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры T от времени t, если тело, нагретое до

T₀ = 100^о С градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна a = 20^оС. Через какое время температура тела опустится до 60 ^оС (принять k = 2 )? (T = a + (T₀ – a) e ^{–k t}, t = ln )

2. a) y′ = , y(–1) = 1;

b) xy′ + y = 2y² ln x, y(1) = 0,5;

c) Через сколько времени температура тела, нагретого до 100^оС, понизится до 25^оС, если температура помещения равна 20^оС и за первые 10 мин тело охладилось до 60^оС? (Через 40 мин)

3. a) (y² + xy) d x – x² dy = 0, y(0) = 0;

b) 2(xy′ + y) = xy², y(1) = 2;

c) Ж/д состав движется со скоростью 20 км/час. Через одну минуту после выключения двигателя его скорость уменьшилась до 2 км/час. Определить скорость состава через две минуты после остановки двигателя, считая сопротивление движению пропорциональным скорости. (0,2 км/час)

4. a) xy′ – y + x = 0, y(e) = 0;

b) y′ + 4 x³ y = 4(x³ + 1) e^–4x y², y(0) = 1;

c) Тело движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент тело имело скорость v₀ = 15 м/с и находилось на расстоянии 4 м от начала отсчета пути. Определить скорость тела через 8 с после начала движения. ( м/с)

5. a) y′ – = x² + 2х, y(–1) = ;

b) xy′ = y + x sin , y(1) = ;

c) Составить дифференциальное уравнение изменения скорости ж/д состава массы m = 10 000 тонн, движущегося со скоростью v₀ = 10 м/с, при замедленном прямолинейном движении под действием силы сопротивления, пропорциональной квадрату скорости и равной 20000 Н при скорости 1 м/с. Определить какое расстояние пройдет состав после выключения двигателя, прежде чем его скорость уменьшится до 2 м/с .

(v´= – v²; 200 )

6. a) y′ – y = e^x (x + 1), y(0) = 1;

b) xy′ = y + , y(0) = –1;

c) Скорость прироста населения страны пропорциональна его численности. Составить дифференциальное уравнение процесса изменения численности населения. Определить численность населения страны через 20 лет, зная что ее население в 2000 году составляло 145 млн человек, а прирост населения за 2000 год был равен –1% .

( = kN ; N = 145 · (0.99)²⁰ ≈ 119 млн человек )

7. a) y′ – = x sinx, y(π/2) = 1;

b) xy′ – y (lny – lnx) = 0, y(–1) = –1;

c) Скорость прироста населения страны пропорциональна его численности. Составить дифференциальное уравнение процесса изменения численности населения. Определить численность населения страны через 20 лет, зная что ее население в 2000 году составляло 145 млн человек, а прирост населения за 2000 год был равен 2% .

( = kN ; N = 145 · (1.02)²⁰ ≈ 215 млн человек )

8. a) y′ + = sinx, y(π) = ;

b) y′ = , y(1) = 0;

c) В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N₀ бактерий. Найти зависимость увеличения числа бактерий от времени, если скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. Через сколько времени количество бактерий увеличится втрое? (N = N₀ e^{k t} ; t = )

9. a) y′ + = x², y(1) = 1;

b) (2 – ) dx + x dy = 0, y(1) = 0;

c) Некоторое вещество преобразуется в другое вещество со скоростью, пропорциональной массе непреобразованного вещества. Если масса первого есть 31,4 г по истечении одного часа и 9,7 г по истечении трех часов, то определить через сколько времени после начала процесса останется лишь 1% первоначальной массы исходного вещества. (7,84 ч)

10. a) – (1 + ln y – ln x) =0, y(1) = e;

b) 3y′ + 2 xy = 2x y ^–2 , y(0) = –1;

c) Некоторое вещество преобразуется в другое вещество со скоростью, пропорциональной массе непреобразованного вещества. Если масса первого есть 31,4 г по истечении одного часа и 9,7 г по истечении трех часов, то определить массу вещества в начале процесса.

(56,5 г)

11. a) y′ – y = 5, y(2) =4;

b) x dy = (x + y) dx, y(1) = 0;

c) В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак вливается вода со скоростью 5 л/мин, и смесь вытекает из него с той же скоростью. Однородность раствора достигается путем перемешивания. Сколько соли останется в баке через час? (0,5 кг)

12. a) y² + x² y′ = x y y′, y(1) = 1;

b) 3xy′ + 5y = (4x – 5) y⁴, y(1) = 1;

c) Состав замедляет свое движение под действием сопротивления, которое пропорционально скорости состава. Начальная скорость состава 1,5 м/с, скорость его через 4 секунды 1 м/с. Какой путь пройдет состав до остановки? (≈ 15 м)

13. a) y′ – = –2 , y(1) = 1;

b) (x² + y² + xy) dx – x² dy = 0, y(1) = 0;

c) Состав замедляет свое движение под действием сопротивления, которое пропорционально скорости состава. Начальная скорость состава 1,5 м/с, скорость его через 4 секунды 1 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 см/с? (≈ 50 с)

14. a) x²y′ + xy – x² – y² = 0, y(1) = 0;

c) 3(xy′ + y) = x y², y(1) = 3;

d) Скорость распада радия пропорциональна наличному его количеству. В течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия? (Через 1575 лет)

15. a) x² – 3y² + 2 x y y′ = 0, y(–2) = 2;

b) y′ – y = 2x y ², y(0) = ;

c) Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей его среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры T от времени t, если тело, нагретое до

T₀ = 100^о С градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна a = 20^оС. Через какое время температура тела опустится до 60 ^оС (принять k = 2 )? (T = a + (T₀ – a) e ^{–k t}, t = ln )

16. a) y′ = ln , y(1) = e;

b) 2x y′ – 3y = –(20x ² + 12) y³ , y(1) = ;

c) Через сколько времени температура тела, нагретого до 100^оС, понизится до 25^оС, если температура помещения равна 20^оС и за первые 10 мин тело охладилось до 60^оС? (Через 40 мин)

17. a) y′ – = 1 + x², y(1) = 3;

b) (2x – y) dx – x dy = 0, y(1) =1;

c) Ж/д состав движется со скоростью 20 км/час. Через одну минуту после выключения двигателя его скорость уменьшилась до 2 км/час. Определить скорость состава через две минуты после остановки двигателя, считая сопротивление движению пропорциональным скорости. (0,2 км/час)

18. a) y′ + y = 1, y(1) = 1;

b) xy′ + y = y² ln x, y(1) =1;

c) Тело движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент тело имело скорость v₀ = 15 м/с и находилось на расстоянии 4 м от начала отсчета пути. Определить скорость тела через 8 с после начала движения. ( м/с)

19. a) y′ + = , y(1) = 1;

b) 2 y′ + 3y cos x = (8 + 12 cos x) e^2x y ^–1 , y(0) = 2;

c) Составить дифференциальное уравнение изменения скорости ж/д состава массы m = 10 000 тонн, движущегося со скоростью v₀ = 10 м/с, при замедленном прямолинейном движении под действием силы сопротивления, пропорциональной квадрату скорости и равной 20000 Н при скорости 1 м/с. Определить какое расстояние пройдет состав после выключения двигателя, прежде чем его скорость уменьшится до 2 м/с .

(v´= – v²; 200 )

20. a) y′ +2xy = –2 x³, y(1) = e ^–1 ;

b) – (1 + ln y – ln x) =0, y(1) = e;

c) Скорость прироста населения страны пропорциональна его численности. Составить дифференциальное уравнение процесса изменения численности населения. Определить численность населения страны через 20 лет, зная что ее население в 2000 году составляло 145 млн человек, а прирост населения за 2000 год был равен –1% .

( = kN ; N = 145 · (0.99)²⁰ ≈ 119 млн человек )

21. a) (2 – ) dx + x dy = 0, y(1) = 0;

b) 8xy′ – 12 y = –(5x² + 3) y³, y(1) = ;

c) Скорость прироста населения страны пропорциональна его численности. Составить дифференциальное уравнение процесса изменения численности населения. Определить численность населения страны через 20 лет, зная что ее население в 2000 году составляло 145 млн человек, а прирост населения за 2000 год был равен 2% .

( = kN ; N = 145 · (1.02)²⁰ ≈ 215 млн человек )

22. a) y′ = , y(1) = 0;

b) 2( y′ + y) = x y ² , y(0) = 2;

c) В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N₀ бактерий. Найти зависимость увеличения числа бактерий от времени, если скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. Через сколько времени количество бактерий увеличится втрое? (N = N₀ e^{k t} ; t = )

23. a) xy′ – y (lny – lnx) = 0, y(–1) = –1;

b) y′ + xy = (x – 1) e^x y², y(0) =1;

c) Некоторое вещество преобразуется в другое вещество со скоростью, пропорциональной массе непреобразованного вещества. Если масса первого есть 31,4 г по истечении одного часа и 9,7 г по истечении трех часов, то определить через сколько времени после начала процесса останется лишь 1% первоначальной массы исходного вещества. (7,84 ч)

24. a) xy′ = y + , y(0) = –1;

b) 2 y′ – 3y cos x = – e ^–2x (2 + 3cos x) y ^–1 , y(0) = 1;

c) Некоторое вещество преобразуется в другое вещество со скоростью, пропорциональной массе непреобразованного вещества. Если масса первого есть 31,4 г по истечении одного часа и 9,7 г по истечении трех часов, то определить массу вещества в начале процесса.

(56,5 г)

25. a) xy′ = y + x sin , y(1) = ;

b) y′ – y = x y², y(0) =1;

c) В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак вливается вода со скоростью 5 л/мин, и смесь вытекает из него с той же скоростью. Однородность раствора достигается путем перемешивания. Сколько соли останется в баке через час? (0,5 кг)

26. a) y′ – y cos x = – sin 2x, y(0) = 3;

b) xy′ – y + x = 0, y(e) = 0;

c) Состав замедляет свое движение под действием сопротивления, которое пропорционально скорости состава. Начальная скорость состава 1,5 м/с, скорость его через 4 секунды 1 м/с. Какой путь пройдет состав до остановки? (≈ 15 м)

27. a) y′ – = – , y(1) = 1;

b) y′ = , y(–1) = 1;

c) Состав замедляет свое движение под действием сопротивления, которое пропорционально скорости состава. Начальная скорость состава 1,5 м/с, скорость его через 4 секунды 1 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 см/с? (≈ 50 с)

26