Графики численного и аналитического решений

1

2

3

0

10

20

30

1.5

2.5

y

z

x

Отлаженную программу необходимо «запомнить» под своим оригинальным именем на своем компьютере и, что очень желательно (во избежание затирания программы другим пользователем), на дискете или на «флэшке».

2.4. Четвертый этап представляет собой защиту работы.

При этом необходимо:

1. Знать теоретические основы численного решения задачи Коши (в пределах данной методички).

2. Уметь объяснять полученные результаты, как-то, как и почему влияет на точность решения число разбиений отрезка интегрирования.

3. Уметь объяснять функциональное назначение отдельных операторов и мест в программе.

4. Показать результаты аналитических расчетов в рабочей тетради.

5. При небольшом значении n (порядка 3 – 5) вручную получить приближенное значение задачи Коши, предложенной преподавателем. При выполнении этого задания можно пользоваться калькулятором или Mathcad’ом.

Пример выполнения такого задания представлен ниже.

Пример выполнения задания ручного счета.

Найти решение дифференциального уравнения 2(y´+ xy) = (x – 1) e^x y² с начальными условиями у (0) = 2 на отрезке [0, 1] с шагом h = 0,25.

Вначале, для того, чтобы проверить результат численного решения, найдем аналитическое решение исходного дифференциального уравнения.

• Перепишем дифференциальное уравнение в виде y´+ xy = y². Это уравнение Бернулли вида у + p(x) y = q (x) y², в котором p(x) = x, q (x) = . Общее решение ищем в виде y = uv . Тогда y = uv + uv . Имеем:

uv + uv + xuv = u²v² => uv + u = u²v².

Подберем функцию v так, чтобы v + xv = 0; тогда uv = u²v². Интегрируя первое из этих уравнений, получим:

v + xv = 0 => = –xv => = –xdx => ln |v| = – => v = .

Подставив полученное выражение для v во второе уравнение, получим:

u = u² или = u² .

Имеем:

= dx или = dx.

Интегрируем: так как dx = – d , то

– = – + С, а u = .

Общее решение исходного уравнения

y = uv = · .

Подставим в это общее решение начальное условие и получим:

2 = => C = 0.

Искомое частное решение имеет вид y = · = 2е^–х.

Для получения численного решения составим таблицу (при составлении таблицы удобно пользоваться Mathcad’ом или Exсel’ем):

k	xk	Численное решение yk = yk –1 + Δ yk –1	Δ yk = ∙ h	Точное решение
0	0	2	–0.5	2
1	0.25	1.5	–0.36	1.56
2	0.5	1.14	–0.27	1.21
3	0.75	0.87	–0.21	0.94
4	1	0.66		0.74

Графики численного и точного решений

0

0.25

0.5

0.75

1

2

1

1.75

1.5

1.25

0.5

0.75

0.25

точное решение

численное решение