Лабораторная работа №3

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА

1. Теоретический минимум

0. 1.1. Постановка задачи

Найти функцию у = у ( х ), удовлетворяющую дифференциальному уравнению

y = f ( x, y ), x [ a, b ],

и принимающую в точке х = а заданное значение у_а : у ( а ) = у_а .

Задача нахождения такой функции называется задачей Коши. Если функция f ( x, y ) и ее частная производная f _y непрерывны при x [ a, b ] и всех у, то решение задачи Коши существует и единственно.

Как и в случае с интегрированием функции, не каждая задача Коши имеет решение, выражаемое через элементарные функции ( и даже через интегралы от элементарных функций ). И даже в случае, когда такое решение существует, часто поиск его из-за сложности функции f ( x, y ) вызывает определенные затруднения. Поэтому во многих практически важных случаях приходится находить приближенное решение задачи Коши. Методов приближенного решения задачи Коши, т.н. численных методов ее решения, достаточно много. В лабораторной работе рассматривается самый простой и наглядный из них – метод Эйлера.

0. 1.2. Численный метод Эйлера

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения

= f (x, y), (1)

удовлетворяющее начальному условию

у(х₀) = у₀. (2)

Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике

D = { | x – x₀ | ≤ A, | y – y₀ | ≤ B } функция f (x, y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные достаточно высокого порядка по всем аргументам, так что решение задачи Коши (1) – (2) существует, единственно и является функцией, дифференцируемой достаточное число раз.

Численное решение задачи (1) – (2) состоит в построении таблицы приближенных значений y₁, y₂, …, y_n решения задачи в точках х₁, х₂, …, х_n. Чаще всего точки х₁, х₂, …, х_n выбирают равноотстоящими: х_k = х₀ + k ∙ h ( k = 0, 1, 2, … , n ). Здесь х₀ = а,

х_n = b. Точки х_k называют узлами сетки, величину h = – шагом сетки.

Так как, по определению, производная есть предел разностного отношения при h → 0, то, заменяя производную этим отношением, вместо дифференциального уравнения

(1) получим разностное уравнение (разностную схему Эйлера)

= f (x_k, y_k), k = 0, 1, 2, … , n ,

или

у_{k +1} = у_k + h ∙ f (x_k, y_k), k = 0, 1, 2, … , n. (3)

Учитывая, что у₀ = у(х₀) – заданная величина, по рекуррентной формуле (3) последовательно находим значения у_k = у(х_k) во всех узлах сетки: по известным значениям х₀ и у₀ сначала вычисляется

у₁ = у₀ + h ∙ f (x₀, y₀).

Затем, зная х₁ и у₁, вычисляется

у₂ = у₁ + h ∙ f (x₁, y₁)

и т.д.

В результате вместо точного решения у = у(х) находится функция у _k = у(х_k) дискретного аргу-

мента х_k (сеточная функция), даю-

щая приближенное решение задачи

(1) – (2).

Геометрически искомая

интегральная кривая у = у(х), прохо-

дящая через точку М₀(х₀, у₀), заменя-

ется т.н. ломаной Эйлера

М₀ М₁ М₂ … М_n с вершинами в точ-

ках М_k (х_k, у_k) (рис. 1). При этом, на Рис.1.

каждом элементарном участке [х_k, x_{k +1}] угловой коэффициент отрезка М_k М_{k +1} ломаной Эйлера равен f (x_k, y_k). Это значит, что данный отрезок представляет собой отрезок касательной, проведенной к интегральной кривой уравнения (1), проходящей через точку М_k (х_k, у_k).

Метод Эйлера относится к группе одношаговых методов, в которых для вычисления точки М_{k +1} (х_{k +1}, у_{k +1}) требуется знание только предыдущей вычисленной точки М_k (х_k, у_k).

Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим точное решение у = у(х) в окрестности точки х = х_k по формуле Тейлора

y(ормуле Тейлора

ки х = а одном шаге сетки разложим точное решение 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000(х_{k +1}) = y (ормуле Тейлора

ки х = а одном шаге сетки разложим точное решение 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000(х_k + h) = y(ормуле Тейлора

ки х = а одном шаге сетки разложим точное решение 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000(х_k) + y(ормуле Тейлора

ки х = а одном шаге сетки разложим точное решение 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000(х_k) ∙ h + O(h²) = y(ормуле Тейлора

ки х = а одном шаге сетки разложим точное решение 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000(х_k) + h ∙ f (x_k, y_k) + O(h²). (4)лько предыдущейтодов, в которых для000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Сравнение формул (3) и (4) показывает, что они совпадают до членов первого порядка по h включительно, а погрешность формулы (4) равна O(h²). Поэтому говорят, что метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Пример. Методом Эйлера для y= 2xy найти у(1), если у(0) = 1. Выбрать h = 0,1.

• Для расчетов составим таблицу

k	xk	yk = yk –1 + Δ yk –1	Δ yk = 2 xk yk ∙ h
0	0	1	0
1	0,1	1 + 0 = 1	0,020
2	0,2	1 + 0,02 = 1,02	0,041
3	0,3	1,02 + 0,041 = 1,061	0,064
4	0,4	1,061 + 0,064 = 1,125	0,090
5	0,5	1,125 + 0,09 = 1,215	0,121
6	0,6	1,215 + 0,121 = 1,336	0,160
7	0,7	1,336 + 0,16 = 1,496	0,209
8	0,8	1,496 + 0,209 = 1,705	0,273
9	0,9	1,705 + 0,273 = 1,978	0,357
10	1	1,978 + 0,357 = 2,335

В результате из последней строки таблицы получаем

у(1) ≈ 2,335.

Аналитическое решение:

y = 2xy => = 2xy => = 2x dx => ln y = x² + ln C => y = C .

Из начальных условий имеем: y(0) = C = С = 1.

Таким образом, точное решение y = . Значение у(1) = е ≈ 2,718.