1.3 Математическая модель производительности технологического процесса прокатки полос

1.3.1 Концептуальная модель технологического процесса прокатки

Результаты анализа технологического процесса прокатки полос позволяют составить концептуальную модель технологического процесса прокатки, соединив Q-схемы участков стана, представленные на рис. 1.2, 1.3, 1.4…1.7, соответствии с общим алгоритмом функционирования цеха холодной прокатки. Полученную схему модели холодной прокатки полос (рис.1.8) по своей структуре и процессам, протекающим в ней можно классифицировать как разомкнутую многофазную стохастическую сеть массового обслуживания.

Рисунок 1.8 – Концептуальная модель технологического процесса прокатки полос

Структурно модель технологического процесса прокатки состоит из источника (И) и шести последовательно соединенных систем, из которых 1-я, 2-я и 5-я фазы являются многоканальными СМО с очередью, а остальные одноканальными системами. Входящий поток заявок-заготовок в сеть является ординарным потоком событий с ограниченным последействием. Выходящими потоками такой Q-схемы являются: поток потерянных заявок из накопителя первой фазы H₁ и поток обслуженных заявок из канала обслуживания шестой фазы К₆, (N₁ и N₆ на рис. 1.8). Длительность травления во второй фазе и длительность отжига в пятой фазе распределены равномерно. Длительности сварки, прокатки и правки в остальных фазах, как правило, имеют нормальное распределение. Накопители всех фаз имеют чаще всего ограниченную емкость (Н1=20, Н2=10, Н4=5, Н5=5, Н6=3).

Поскольку входящий поток листов в сеть не является простейшим, потоки обслуживаний в фазах имеют отличные от показательного распределения и очереди фазах являются ограниченными, то данная сеть не относится к экспоненциальным сетям, для которых возможен аналитический метод точного расчета показателей эффективности.

1.3.2 Приближенный аналитический расчет показателей эффективности сети

Однако если в первом приближении считать очереди в фазах неограниченными, входной поток простейшим, а длительности обслуживания в каналах фаз показательными, то аналитический расчет показателей эффективности можно использовать в качестве приближенного. При этих условиях многофазную стохастическую сеть массового обслуживания можно анализировать как простую последовательность простейших СМО [Вентцель, сб. задач, с 370].

Финальные вероятности состояний простейшей многоканальной СМО с неограниченной очередью можно рассчитать по следующим формулам:

; . (1.8)

При большом числе каналов n расчет финальных вероятностей выполняют с помощью функций P(m,a) и R(m,a) (они определяются по табличной функции Q(m,a) в приложении 1[Вентцель, сб. зад.]) по формуле

. (1.8а)

Характеристики эффективности СМО:

(1.9)

Финальные вероятности состояний простейшей одноканальной СМО с неограниченной очередью можно рассчитать по формулам:

p_о=1-ρ, р_k = ρ^k(1-ρ) (к = 1,2,...), (1.10)

где ρ =λ/μ < 1.

Характеристики эффективности СМО:

(1.11)

среднее число занятых каналов (или вероятность того, что канал занят)

.

Формулировка задачи: Пусть имеется шестифазная стохастическая сеть массового обслуживания с неограниченными очередями в фазах, в которых все потоки событий простейшие. Входной поток листов имеет интенсивность ,833 листа/мин. Требуется найти показатели ее эффективности:

- среднее число листов в очереди к первой (второй, …, шестой) фазе обслуживания;

- среднее число листов связанных с первой (второй, …, шестой) фазой обслуживания;

- среднее время ожидания в очереди к первой (второй, …, шестой) фазе обслуживания;

- среднее время пребывания листа в первой (второй, …, шестой) фазе обслуживания;

- общие средние характеристики технологического процесса.

Кроме того, необходимо установить на каком участке и как нужно улучшить обработку листов для того, чтобы уменьшить временные затраты на выполнение операций в целом по всей технологической цепочке.

Тогда, можно рассматривать шесть последовательных фаз сети как шесть отдельных СМО со своими характеристиками, которые нетрудно рассчитать по формулам (1.8,…,1.11).

Первая фаза. Так как на участке травления имеется 20 мест, то число каналов n1=20. Далее имеем , и . По формулам (1.8,1.9) находим вероятность того, что все каналы заняты P20 и через нее остальные показатели эффективности:

;

;

;

; .

Вторая фаза. На участке сварки и намотки имеется 3 места сварки, то есть число каналов во второй фазе равно n2=3. Далее имеем , и . По формулам (1.8,1.9) находим такие же показатели эффективности:

;

;

;

; .

Третья фаза. Этот участок виртуальный, играет роль изменения масштаба интенсивности, поток в листах/мин преобразуется в поток рулонов/мин. Рулон состоит из двух или из трех полос по пять листов в каждом. , где k3 – число листов в рулоне.

Четвертая фаза. Участок прокатки (прокатный стан) в модели представлен элементарным прибором обслуживания (Н4, К4). Принимаем среднее время прокатки рулона , . По формулам (1.10,1.11) находим показатели эффективности:

; ;

.

Пятая фаза. Участок отжига в рулонах имеет пять мест. Принимаем среднее время отжига рулона , , . По формулам (1.8,1.9) находим показатели эффективности:

;

;

;

; .

Шестая фаза. Участок правки и раскроя имеет одно место. Принимаем среднее время отжига рулона , .

; ;

.

Складывая средние численности всех очередей, получаем общую среднюю численность очереди:

.

Аналогично находим среднее время пребывания в очереди:

.

Таким образом, наибольшая очередь 40,5 листа и наибольшее время ожидания 49 мин имеет участок прокатки.

Более точное определение показателей качества технологического процесса прокатки возможно с помощью имитационной модели технологического процесса как многофазной стохастической сети массового обслуживания.