Лекция 16,17. Программирование на сетях.

Вопросы: 1. Основные понятия теории графов.

2. Матричное задание графов. Упорядочение вершин.

3. Сети и потоки на сетях. Постановка задачи о максимальном потоке.

4. Понятие разреза. Теорема Форда-Фалкерсона. Алгоритм решения задачи о

максимальном потоке.

5. Элементы сетевого планирования.

1. Основные понятия теории графов.

Теория графов – область дискретной математики, особенностью которой является геометрический подход к изучению объектов.

Основным объектом является граф и его обощения. Синонимами графа являются карта, диаграмма, сеть, лабиринт.

Результаты и методы теории графов используются в физике, химии, электротехнике, биологии, экономике, социологии и т.п. В экономике методы теории графов применяются при решении транспортных задач о перевозках, задач о назначениях, в календарном и сетевом планировании, при моделировании сложных технологических процессов, в решении задач массового обслуживания и задач управления динамическими процессами и т.п.

Формально граф определяется заданием двух (конечных) дискретных множеств: множеством вершин Х = {х₁, …, х_n} и множеством линий связи между ними

U = {u₁,…,u_m}.

Линии связи u_i называют ребрами, если не указана их ориентация, и – дугами, если задано направление связи.

Граф с дугами называют ориентированным графом (орграфом), - с ребрами – неориентированным.

Пример. а) орграф б) неориентированный граф

Вершины х_i и х_j, связанные дугой/ребром u_k, называют концевыми вершинами этой дуги/ребра. Если концевые вершины совпадают, то дуга/ребро называется петлей. Дуги/ребра с одинаковыми концевыми вершинами называются параллельными. Граф без петель и параллельных линий связи называют простым.

Концевые вершины х_i и х_j одной дуги/ребра или дуги u_p и u_q с общей вершиной называют смежными.

Если вершина х_i является концевой для дуги/ребра u_k, то эти x_i и u_k инцидентны: вершина х_i инцидентна дуге/ребру u_k, а дуга/ребро u_k – вершине х_i.

Т.о., смежность – отношение связанности между однородными элементами (вершинами или дугами/ребрами), а инцидентность – между разнородными (вершинами и дугами/ребрами).

Вершина, не имеющая отношений смежности, называется излированной.

Графы с одинаковым отношением инцидентности называются изоморфными.

Пример.

Изоморфные графы отличаются только геометрической конфигурацией.

Число дуг/ребер, инцидентных вершине х_i, называют степенью этой вершины P(x_i). В орграфе различают полустепень захода P⁺(x_i) и полустепень исхода P^-(x_i) вершины х_i, равные соответственно числу заходящих в х_i и исходящих из х_i дуг. P⁺(x_i) + P^-(x_i) = P(x_i).

В ряде случаев дугам ставятся в соответствие числовые характеристики (длина пути, время смены состояний, пропускная способность связи и т.д.), называемые весом дуг/ребер, а графы с такими числами называют взвешенными.

Граф называют простым, если он не содержит петель и параллельных дуг/ребер. Простой граф, в котором каждая пара вершин смежна, называют полным.

Путь в орграфе – последовательность неповторяющихся дуг, в которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом следующей. Путь, проходящий через все вершины только по одному разу, называется гамильтоновым. Путь, содержащий все дуги только по одному разу, называют эйлеровым. Конечный путь, у которого начальная вершина совпадает с конечной, называют контуром. В неориентированном графе путь называют цепью, а контур – циклом.

Орграф (неориентированный граф) называют связным, если любые две его вершины можно соединить путем (цепью). В противном случае – несвязным. Связный орграф называют сильно связным, если для любых двух вершин х_i и х_j существуют пути из х_i в х_j и из х_j в х_i.

Пример.