6. Одноканальная смо с ожиданием

На вход заявки поступают с интенсивностью . Канал может обслуживать заявки с интенсивностью . Если канал занят, то вновь поступающая заявка становится в очередь. Имеем состояния:

s₀ – канал свободен, вероятность состояния р₀,

s₁ – канал занят, очереди нет, вероятность состояния р₁,

s₂ – канал занят, в очереди 1 заявка, вероятность состояния р₂,

s₃ – канал занят, в очереди 2 заявки, вероятность состояния р₃, …

s_k – канал занят, в очереди (k – 1) заявка, вероятность состояния р_k, …

где р₀ + р₁ + р₂ + р₃ + … = 1.

Строим диаграмму смены состояний системы:

Составляем балансные уравнения:

s₀: р₀ = mр₁, т.е. р₁ = = qр₀;

s₁: р₀ + mр₂ =mр₁ + р₁  р₂ = = qр₁ = q ²р₀;

s₂: р₁ + mр₃ =mр₂ + р₂  р₃ = = qр₂ = q ³р₀;

… р_k = q ^kр₀; …

Подставляем полученные значения вероятностей в условие р₀ + р₁ + р₂ + р₃ + … = 1:

р₀ + qр₀ + q ²р₀ + q ³р₀ + … = 1  р₀(1 + q + q ² + q ³ +…) = 1.

Поскольку степенной ряд сходится (т.е. сумма в скобках должна быть суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии), то получаем ограничение на q:  =  / < 1, т.е. для устойчивости работы СМО необходимо, чтобы выполнялось неравенство  < , в противном случае нарушится условие: каждая заявка, поступившая на вход СМО с ожиданием, будет обслужена за конечное среднее время.

Поскольку сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q равна S = или р₀(1 + q + q ² + q ³ +…) = р₀ = 1, где а₁ – 1-й член прогрессии, то р₀ = 1 – q, а р_k = q ^k(1 – q).

Средняя длина очереди в одноканальной СМО с ожиданием, т.е. математическое ожидание числа заявок в очереди: ₌ 1р₂ + 2р₃ + 3р₄ +… =  ²/(1 – ).

Среднее число заявок (клиентов) в одноканальной СМО с ожиданием , которое включает среднее число заявок в очереди и среднее число заявок, находящихся на обслуживании. Для второй средней имеем: число заявок на обслуживании равно 0, если канал свободен, т.е. с вероятностью р₀ = 1 – , и равно 1 во всех остальных состояниях, т.е. с вероятностью 1 – р₀ =  . Следовательно, = +  =  +  ²/(1 – ) = /(1 – ).

7. Замкнутые смо

Частным случаем СМО с ожиданием являются замкнутые СМО, обслуживающие заявки ограниченного числа постоянных клиентов N₀, поэтому интенсивность входящего на вход потока заявок будет уменьшаться с увеличением числа заявок, находящихся в СМО.

Рассмотрим замкнутую систему обслуживания, в которой возможными «клиентами» являются N₀ единиц однотипного оборудования на конкретном предприятии. Пусть средняя частота отказа каждого образца оборудования в ед. времени равна λ, ремонт оборудования осуществляют п специалистов с одинаковой производительностью μ единиц оборудования в ед. времени.

Имеем п-канальную систему обслуживания, в которой каждое выходящее из строя оборудование подлежит ремонту. Каждый работающий образец оборудования определяет поток заявок (отказов в работе) с интенсивностью λ, среднее время ремонта оборудования 1/μ. Оборудование после устранения в нем неисправности снова инициирует поток заявок.

Имеем следующие состояния замкнутой СМО:

s₀ – неисправного оборудования нет; вероятность р₀;

s₁ – неисправного оборудования 1 ед., очереди нет; вероятность р₁;

s₂ – неисправного оборудования 2 ед., очереди нет; вероятность р₂;

…

s_n – неисправного оборудования n ед., очереди нет; вероятность р_n;

s_{n + 1} – неисправного оборудования n + 1 ед., в очереди 1 ед. оборудования; вероятность р_n+1;

s_{n + 2} – неисправного оборудования n + 2 ед., в очереди 2 ед. оборудования; вероятность р_n+2;

…

s_N0 – неисправного оборудования N₀ ед., в очереди N₀ – n ед. оборудования; вероятность р_N0.

Строим диаграмму смены состояний СМО:

Состояние s_k определяется числом k неработающих единиц оборудования, . Интенсивность потоков с учетом того, что если k ед. оборудования неисправно, то эксплуатируется N₀ – k ед. оборудования:

Балансные уравнения для соответствующих состояний в установившемся режиме работы замкнутой СМО при простейших потоках заявок имеют вид:

s₀: ₀ р₀ = ₁р₁;

s_k: λ_k–1·p_k–1 +  _k+1р_k+1 = (λ_k +  _k)р_k, 1 ≤ k ≤ N₀ – 1;

s_N0: λ_N0–1·p_N0–1 = _N0р_N0.

Решением этой системы уравнений с учетом нормировочного равенства p₀ + p₁ + … + p_N0 = 1 будут вероятности того, что в установившемся режиме в СМО имеется k заявок (т.е. k ед. оборудования требуют ремонта):

, где  =  /;

При небольшом числе каналов n и числе единиц оборудования N₀ рекомендуется использовать рекуррентные формулы:

После выражения по этим формулам через р₀ всех р_k для вероятность р₀ находится из нормировочного равенства р₀ + р₁ + р₂ + … + р_N0 = 1, а затем и вычисляются и остальные р_k.

Усредненные параметры функционирования замкнутой СМО рассчитываются по следующим формулам:

• среднее число заявок в очереди = ;

• среднее число заявок в СМО (среднее число единиц неработающего оборудования) = ;

• среднее число свободных каналов обслуживания ;

• среднее число занятых каналов обслуживания = п – ;

• доля простаивающих каналов обслуживания /п;

• доля неработающих единиц оборудования β = /N₀;

• доля работающих единиц оборудования γ = 1 – β = 1 – /N₀;

• среднее время нерабочего состояния конкретного образца оборудования (среднее время пребывания заявки в СМО) = = .