4. Одноканальная смо с отказами

Система (канал) может находиться в одном из двух состояний:

s₀ – система свободна с вероятностью р₀,

s₁ – система занята с вероятностью р₁.

С троим диаграмму смены состояний в одноканальной СМО с отказами:

Составляем балансные уравнения:

s₀: р₀ = mр₁, т.е. р₁ = = qр₀;

s₁: mр₁ = р₀, что повторяет уравнение для s₀.

Подставляем р₁ = в нормировочное равенство р₀ + р₁ = 1. Получаем: р₀ + = 1,откуда р₀ = 1/(1 + ) = = ; р₁ = = qр₀ = = .

Т.о., для данной модели одноканальной СМО:

• абсолютная номинальная пропускная способность А₀ =  – число заявок, которое может обслужить канал в единицу времени при непрерывной работе;

• относительная номинальная пропускная способность ₀ = А₀/ =  / – доля заявок из , которую может обслужить канал при непрерывной работе;

• относительная фактическая пропускная способность – вероятность того, что в момент прихода заявки канал свободен и она будет обслужена:  = р₀ =  /( + ) < ₀;

• абсолютная фактическая пропускная способность А =  =  /( + ) < А₀;

• вероятность отказа – вероятность того, что канал в момент появления заявки на входе СМО занят: р_отк = р₁ =  /( + );

• доля времени простоя канала (продолжительность нерабочего состояния канала относительно единицы времени) – вероятность того, что канал свободен:  = р₀ = , т.е. за время Т канал простаивает в течение времени Т.

5. Многоканальные смо с отказами

1. Двухканальная СМО

Система может находиться в одном из трех состояний:

s₀ – все каналы свободны, вероятность состояния р₀,

s₁ – занят только один канал, вероятность состояния р₁,

s₂ – заняты два канала, вероятность состояния р₂,

где р₀ + р₁ + р₂ = 1.

Строим диаграмму смены состояний:

где учтено, что, если система находится в состоянии s₀, то любая заявка в потоке с интенсивностью  переводит ее в состояние s₁; если система находится в состоянии s₁, то тот же поток с интенсивностью  переводит ее в состояние s₂; если система находится в состоянии s₁, то каждая выполненная заявка переводит систему в s₀ с интенсивностью  выполнения заявок одним каналом; если же система находится в состоянии s₂, то оба канала работают на перевод ее в s₁, т.е. суммарная интенсивность потока, возвращающая СМО из s₂ в s₁, равна 2m.

Составляем балансные уравнения для каждого состояния:

s₀:  р₀ = m р₁, т.е. р₁ = = qр₀;

s₁:  р₁ + m р₁ =  р₀ + 2m р₂  р₂ = = р₁ = р₀;

s₂:  р₁ = 2m р₂, что повторяет уравнение для s₁.

Подставляем полученные значения р₁ и р₂ в тождество р₀ + р₁ + р₂ = 1: р₀ + qр₀ + р₀ = 1  р₀= 1/(1 + q + q ²/2); р₁ = qр₀ = q/(1 + q + q ²/2); р₂ = р₀ = .

По аналогии двухканальной СМО строим диаграмму смены состояний в трехканальной СМО с отказами:

Из балансных уравнений получаем: р₁ = qр₀, р₂ = р₀, р₃ = р₀ = р₀, а из р₀ + р₁ + р₂ + р₃ = 1 следует р₀ = 1/(1 + q + q ²/2! + q ³/3!). Для n-канальной СМО с отказами р₀ = 1/(1 +  +  ²/2! + …+  ⁿ/n!), вероятность отказа р_отк = р_n = – формула Эрланга.