
- •Математические модели и численные методы
- •Структура погрешности при решении задачи на эвм
- •Решение уравнений с одной переменной Постановка задачи
- •Отделение корней
- •I. Графический способ отделения корней
- •II. Отделения корней программным способом.
- •Уточнение корней
- •Метод половинного деления
- •Метод хорд
- •Метод касательных
- •Метод простой итерации
- •Оценка погрешности метода итераций
- •Преобразование к итерационному виду
- •Решение системы линейных алгебраических Постановка задачи
- •Метод Гаусса
- •Метод простой итерации
- •Решение слу методом Зейделя
- •Интерполирование функций Постановка задачи
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов
- •Первая интерполяционная формула Ньютона
- •Вторая интерполяционная формула Ньютона
- •Численное дифференцирование
- •Вычисление производной по определению
- •Вычисление производной на основе интерполяционного многочлена Лагранжа
- •Численное интегрирование
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами
- •Аппроксимация некоторых несобственных интегралов определенными интегралами с точностью ε.
- •Упрощение подынтегральных функций
- •Приближенное вычисление несобственных интегралов от функции с бесконечным разрывом
- •Численное решение дифференциальных уравнений Основные определения и постановка задачи
- •Метод Эйлера
- •Методы Рунге-Кутта
- •Классический метод Рунге-Кутта
- •Метод наименьших квадратов Постановка задачи
- •Нахождение приближающей функции в виде линейной функции
- •Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций
- •Нахождение приближающей функции в виде квадратичной функции
Численное дифференцирование
Производной
функции y=f(x)
в точке x0
называется предел отношения приращения
функции y
к приращению аргумента x
при стремлении x
к нулю:
.
Если
производную от функции в данной точке аналитически найти не удается либо
вычисление производной слишком громоздко или занимает очень много времени либо
функция f(x) задана на конечном множестве точек {xi} (i=0,1,…,n),
то необходимо перейти к численному дифференцированию.
Вычисление производной по определению
Вычисление производной по определению применяется, когда известно аналитическое выражение функции y=f(x).
Пусть
функция y=f(x)
определена в некоторой окрестности
точки x0 и
имеет производную в этой точке, т.е.
,
Где x=x–x0 ,
y=f(x0+x) – f(x0)
Значение
производной функции y=f(x)
в точке x0
получим, рассматривая последовательность
,
где (x)0 – некоторое начальное приращение аргумента;
a – некоторое число a>1;
n = 0, 1, …
Значение производной
примет вид:
,
где
,
откуда получим:
.
Оценим точность приближения.
Пусть функция y=f(x) имеет непрерывную производную до второго порядка включительно в окрестности точки x0.
По
формуле Тейлора
,
откуда
,
где
– максимальное значение производной
на (x, x0).
Окончательно
получим:
,
где
Для
достижения заданной степени точности
ε при вычислении производной можно
использовать неравенство:
и, соответственно, последний результат
принимают в качестве производной
функции, вычисленной в точке x
с заданной степенью точности.
Блок-схема вычисления производной по определению:
начало
dF:=(
f(x+dX)- f(x))/dX
Ввод
x,e
конец
dF(x,dX)
dX:=0,1 der1:=dF(x,dX)
Вывод
x, der2,e1
конец
+
e1<e
dX:=dX/a der2:=dF(x,dX) e1:=|der1-der2| der1:=der2
Вычисление производной на основе интерполяционного многочлена Лагранжа
Вычисление производной на основе интерполяционного многочлена Лагранжа применяется, когда аналитическое выражение функции y=f(x) не известно, а функция y=f(x) задана таблично.
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке и в точках {xi} (i=0,1,2,…,n) этого отрезка принимает значения yi=f(xi).
Разность между соседними значениями аргумента xi постоянна и является шагом h=xi– xi-1 (i=1, …,n) разбиения отрезка на n частей, прием a=x0 и b=xn.
Найдем аппроксимации производной первого порядка с помощью значений функций yi в узловых точках xi.
Для того чтобы выразить значения производной через значения функции yi в узлах интерполяции xi, построим интерполяционный многочлен Лагранжа Lm(x) степени m, удовлетворяющий условиям
Lm(x)= f(xk)= yk (k=i, i+1, …, i+m), i+mn
Многочлен Лагранжа Lm(x) интерполирует функцию f(x) на отрезке [xi, xi+m]. Дифференцируя многочлен Lm(x), получаем значения производной в точках {xi} (k=i, i+1, …, i+m).
Если m=2, то график интерполяционного многочлена Лагранжа L2(x) – парабола, проходящая через три точки (xi, yi), (xi+1, yi+1) и (xi+2, yi+2).
Вычислим первую производную многочлена L2(x) на отрезке [xi, xi+2]:
Производная многочлена L2(x) в точках xi, xi+1, xi+2 является приближением производной функции f(x) в этих точках:
(1)
Погрешности при вычислении производных в точках xi, xi+1, xi+2 определяются следующим образом:
(2)
Формулы
(2) показывают, что погрешности аппроксимации
первой производной
с помощью формул (1) имеют один и тот же
порядок O(h2),
таким образом, можно вычислять производную
на отрезке [a,b]
в точках {xi}
(i=0,1,2,…,n)
при n2
по формулам:
(3)
Полагаем,
что значения производных
и
в точках х, близких к точкам xi,
равны соответствующим значениям
и
.
Будем
считать точку близкой к xi,
если она принадлежит промежутку
.
Точки х, близкие к точкам xi,
имеют одно и то же значение параметра
В зависимости от i при n3 используем одну из формул (5).
Программа вычисления производной первого порядка на основе интерполяционного многочлена Лагранжа: