Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов

Рассмотрим случай, когда h=x_i+1 – x_i=const (i=0, 1, …).

Рассмотрим конечные разности:

– конечные разности 1-го порядка – разности между значениями функции в соседних узлах.

– конечные разности 2-го порядка – разности между конечными разностями 1-го порядка.

– конечные разности 3-го порядка.

…

– конечные разности k-го порядка.

Конечные разности удобно вычислять в таблице:

xi	yi	 yi	2 yi	3 yi
x0	y0	 y0	2 y0	3 y0
x1	y1	 y1	2 y1	3 y1
x2	y2	 y2	2 y2
x3	y3	 y3
x4	y4

Первая интерполяционная формула Ньютона

Будем искать интерполяционный многочлен Ньютона в виде многочлена n-ой степени:

P_n(x) = a₀+ a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁) +…+ a_n(x-x₀)…(x-x_n-1) (3)

Коэффициенты a₀, a₁, …, a_n находятся из условия совпадения значения исходной функции f(x) и многочлена P_n(x) в узлах интерполяции: .

Пусть , тогда , соответственно

…

Подставив в формулу (3), получим:

– первая интерполяционная формула Ньютона.

Погрешность вычислений оценивается следующим образом:

Так при n=2

, где

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется, когда значение аргумента ближе к концу отрезка интерполяции (формула для интерполирования назад). Интерполяционный многочлен ищется в виде многочлена n-ой степени:

P_n(x) = a₀+ a₁(x-x_n) + a₂(x-x_n)(x-x_n-1) +…+ a_n(x-x_n)…(x-x₁) (4)

Коэффициенты a₀, a₁, …, a_n находятся из условия совпадения значения исходной функции f(x) и интерполяционного многочлена P_n(x) в узлах: .

Подставив a_k в (4) и перейдя к переменной , получим вторую интерполяционную формулу Ньютона:

.

Погрешность вычислений оценивается следующим образом:

.

Рассмотрим задачу субтабулирования (уплотнения таблицы) функции на отрезке. Введем следующие обозначения:

a, b – концы субтабулирования;

H0 – старый шаг таблицы;

H – новый шаг таблицы;

y1, y2, y3 – конечные разности 1-го, 2-го, 3-го порядка;

d – границы погрешности метода.

Для вычисления конечных разностей составляется таблица:

xi	yi=sin xi	 yi	2 yi	3 yi
0,150	0,14944	0,00494	0,00000	-0,00001
0,155	0,15438	0,00494	-0,00001	0,00001
0,160	0,15932	0,00493	0,00000	0,00000
0,165	0,16425	0,00493	0,00000	-0,00001
0,170	0,16918	0,00493	-0,00001
0,175	0,17411	0,00492
0,180	0,17903

Блок-схема уплотнения таблиц функций: