Метод простой итерации

Функцию (x,y), определяющую расстояние между точками x и y множества X назовем метрикой, если

(x,y)0
(x,y)=0  x=y
(x,y)= (y,x)
(x,y) (x,z)+ (z,y).

Множество X с введенной метрикой  назовем метрическим пространством.

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если .

Пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.

Отображение F пространства E в себя называется сжимающим, если

x – неподвижная точка, если F(x)=x.

Оценка расстояния между неподвижной точкой и приближением x⁽^k⁾ производится следующим образом:

или .

Таким образом, чтобы погрешность вычислений была меньше наперед заданного числа ε, достаточно потребовать .

Рассмотрим 3 типа метрики.

Пусть x(x₁,x₂,…,x_n) и y(y₁,y₂,…,y_n) – две точки n-мерного пространства.

I. Максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой части системы, взятых по строкам, должна быть меньше единицы:

II. Максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой части системы, взятых по столбцам, должна быть меньше единицы:

III. Корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при неизвестных в правой части системы, должен быть меньше единицы:

СЛУ преобразуется таким образом, чтобы по одной из метрик выполнялось α < 1.

При этом СЛУ задает отображение, которое при α < 1 будет сжимающим. Значит, взяв любую точку в качестве начального приближения, получим последовательность точек, которая будет сходиться к неподвижной точке; это точка и будет решением системы.

Чтобы привести СЛУ к итерационному виду нужно:

с помощью равносильных преобразований привести систему к виду с преобладающими диагональными коэффициентами (по абсолютной величине);
разделить все уравнения на соответствующие диагональные коэффициенты и выразить из каждого уравнения неизвестное с коэффициентом, равным единице.

Если для этой системы α < 1, то система задает сжимающее отображение.

Рассмотрим на примере:

Решим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Преобразуем систему к итерационному виду, для чего поменяем местами 1-ую строку со 2-ой, после чего каждую строку разделим на соответствующие диагональные элементы.