Метод касательных

Пусть функция y=F(x) определена, непрерывна, монотонна и дифференцируема в некоторой окрестности корня.

Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.

На k^ой итерации проводится касательная к графику функции y=F(x) при x=c_k и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом достаточно задать начальное приближение c₀, а не указывать отрезок [a,b].

Уравнение касательной к графику функции y=F(x) в точке x₀ имеет вид: . Пересечение с осью Ox находится из условия y=0, откуда

Таким образом, получим формулу для нахождения последовательности c₁, c₂… точек пересечения касательных с осью абсцисс:

Условие окончания счета:

Корень уравнения: c_i+1.

Блок-схема метода касательных:

начало Ввод c,ε n:=0 n:=n+1 g:=c Вывод c, n конец + |g-c|<ε

Метод простой итерации

Заменим уравнение F(x)=0 равносильным уравнением x = f(x).

Теорема.

Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены условия:

1. функция f(x) определена и дифференцируема на отрезке [a,b];

2. x  [a,b] f(x)  [a,b]

3. q x[a,b] |f’(x)|q<1

Тогда итерационная последовательность x_n=f(x_n-1) (n=1,2,...) сходится при любом начальном члене x₀[a,b].

Таким образом, наша задача: преобразовать уравнение F(x)=0 к виду x = f(x), удовлетворяющему условиям теоремы 1-3 (хотя итерационная последовательность может сходиться и при невыполнении некоторых условий).

В зависимости от вида функции сходимость может происходить ступеньками либо по спирали.

y=x

y

y=x

y

y=f(x)

f(x₂)

y=f(x)

f(x₁)

f(x₀)

f(x₁)

f(x₂)

f(x₀)

x₃

x₃

x₂

x₁

x₀

x

O

x₂

x₁

x₀

x

O

Оценка погрешности метода итераций

Пусть x_n – приближение к истинному значению x^* корня уравнения x=f(x).

Абсолютная ошибка x_n=|x^*-x_n|.

Для оценки погрешности n-го приближения используется формула . Приняв за нулевое приближение x_n-1 и учитывая, что при 0<q<1 будет qⁿ<q, для оценки погрешности n-го приближения можно использовать формулу .

Значение q можно получить как верхнюю грань модуля производной |f’(x)| при x[a,b]. Чем q меньше, тем быстрее сходится ряд.

Чтобы достаточно потребовать , откуда получим условие окончания счета

Преобразование к итерационному виду

1) Универсальный способ приведения уравнения F(x)=0 к виду x=f(x).

Уравнение F(x)=0 приводится к равносильному уравнению x = x – m F(x), таким образом, f(x) = x – m F(x).

Исходя из третьего условия теоремы: (q) (x[a,b]) [ |f’(x)|q<1] следует, что должно выполняться неравенство: 0 < |1– mF’(x)| < 1.

Достаточно подобрать m так, чтобы выполнялось неравенство 0<mF’(x)<1, откуда следует и .

Тогда q можно принять .

Примечания:

• Если (x[a,b]) f’(x)<0, то вместо уравнения F(x)=0 переходим к равносильному уравнению: – F(x)=0 .

• Если при приведении уравнения F(x)=0 к итерационному виду x=f(x) получилось, что x[a,b] |f’(x)|>1, то от функции вида y=f(x)переходят к функции x=g(y), обратной для f(x). При этом рассматривается уравнение y=g(y) или x=g(x), причем по свойству обратных функций .

2) Иногда удается преобразовать уравнение F(x)=0 к виду x=f(x) более простым способом, выразив x из уравнения.

Блок-схема метода итераций:

начало Ввод x,ε,q n:=0 Вывод x, n конец + |p|<a n:=n+1 y:=f(x) p:=x-y x:=y