2. Розрахунок одиничних та комплексних показників надійності

Показники надійності – це кількісні характеристики властивостей, які визначають надійність системи.

Якщо показники характеризують одну із вдастивостей надійності, то вони називаються одиничними. Існують одиничні показники безвідмовності, ремонтопридатності, збережуваності, довговічності.

Якщо показники характеризують одночасно дві (чи більше) властивостей надійності, то вони називаються комплексними. Найчастіше комплексні показники використовують для кількісної оцінки безвідмовності і ремонтопридатності відновлюваних систем.

Одиничні показники надійності. Розглянемо деякі із одиничних показників .

Показники безвідмовності. Відмова системи є випадковою подією. Інтервал часу від моменту включення системи до першої відмови є випадковою величиною Т і називається напрацюванням до першої відмови..

Ймовірність безвідмовної роботи p(t) – це ймовірність того, що напрацювання до першої відмови перевищує задану величину t :

p(t) = P[T>t] , t≥0 .

Якщо припустити, що в момент включення система справна, то функція p(t) являє собою монотонно спадну функцію від 1 ( при t =0) до 0 (при t → ∞ ).

Ймовірність відмови q(t) – це ймовірність того, що напрацювання до першої відмови не перевищує задану величину t:

q(t) = P[T≤ t].

Функція q(t) являє собою функцію розподілу T – напрацювання до першої відмови.

Такі дві події, як відмова і прцездатність, утворюють повну групу подій, тому:

p(t)+q(t) =1.

Якщо функція розподілу q(t) диференційована, то безвідмовність можна характеризувати густиною ймовірностей моменту першої відмови, яка називається параметром потоку відмов або частотою відмов α (t):

α (t) = dq(t)/dt = - dp(t)/dt.

Ймовірність відмови q(t) та ймовірність безвідмовної роботи p(t) можуть бути виражені через параметр потоку відмов:

_t

q(t) = ∫ α (τ) dτ

⁰

_{∞ t}

p(t) = ∫ α (τ) dτ = 1 - ∫ α (τ) dτ

^{t 0}

Розподіл ймовірностей напрацювання до першої відмови називається аналітичною моделлю безвідмовності.

Середнє напрацювання до відмови Т_в – це математичне сподівання напрацювання до першої відмови, яке ще називається середнім часом до відмови або середнім часом безвідмовної роботи. Як математичне сподівання неперервної випадкової величини середній час безвідмовної роботи:

_∞

Т_в = М(Т) = ∫ tα(t) dt

^t

Для зручності виразимо середній час безвідмовної роботи через ймовірність безвідмовної роботи. Проінтегрувавши попереднє рівняння, отримаємо:

_∞

Т_в = ∫ p(t) dt

⁰

Для відновлюваних систем іноді найбільш зручною характеристикою є середній час між відмовами Т_ср, , який являє собою відношення часу справної роботи системи до математичного сподівання кількості відмов протягом цього часу. Якщо після кожної відмови система відновлюється до початкового стану, то середній час між відмовами рівний середньому часу безвідмовної роботи:

Т_ср = Т_в

Інтенсивність відмов λ(t) – це умовна густина ймовірності відмови системи в момент часу t при умові, що від початку до моменту t система працювала безвідмовно.

Інтенсивність відмов λ(t) можна виразити так:

λ(t) = α(t)/p(t).

При t=0 значення λ(t) = α(0).

Найбільше поширення на практиці набув експоненціальний закон розподілу напрацювання до першої відмови, при якому частота відмов, інтенсивність відмов, ймовірність безвідмовної роботи і середній час безвідмовної роботи визначаються відповідно як:

α(t) =f(t) = λ e^{- λt} ;

λ(t) = λ =const ;

p(t) = e^{- λt} ;

T_в = 1/ λ

Перелічені показники звичайно використовуються для кількісної оцінки стійких відмов. Подібним чином вводяться одиничні показники, що характеризують інші властивості надійності.

Комплексні показники надійності. Найбільш поширеними комплексними показниками надійності є наступні:

Функція готовності k_г(t) характеризує ймовірність працездатного стану системи в довільний момент часу t.

Ймовірність того, що в довільний момент часу t система буде знаходитись у стані відмови, називається функцією простою k_п (t).