Текст 3 Геометричне зображення комплексних чисел

На площині виберемо систему декартових координат. Комплексне число (а, b) = а + bi зіставимо з точкою М (а, b) цієї площини з координатами (а, b). Якщо b = 0, то отримаємо дійсне число, яке зображається точкою на осі Ох. Унаслідок цього вісь Ох називають дійсною віссю (точками осі абсцис зображаються дійсні числа). Якщо а = 0, то отримуємо уявне число bi, яке зображується точкою α (0, b), що лежить на осі Оу. З цієї причини вісь ординат називають уявною (точками цієї осі зображуються уявні числа).

З азначимо, що уявна одиниця i зображується точкою (0, 1), що розташована на додатній півосі ординат і відстоїть від початку координат на відстані, що дорівнює одиниці. Число (–i) зображується на осі ординат точкою (0, 1).

Будь-яке комплексне число α = (а, b), де а ≠ 0, b ≠ 0, зображується точкою, яка не лежить на осях координат. І, навпаки, будь-якій точці М (а, b) площини відповідає комплексне число (а, b) = а + bi. Таким чином, між множиною комплексних чисел і множиною точок на площині встановлена взаємно однозначна відповідність. Площина, точки якої ототожнені з комплексними числами, називається комплексною площиною.

Завдання 11 Відповідайте на запитання.

1 Які числа зображуються на осі абсцис?

2 Які числа зображуються на осі ординат?

3 Де зображується уявна одиниця i? А число (–i)?

4 Як зображується комплексне число, якщо а ≠ 0, b ≠ 0?

5 Що відповідає будь-якій точці М (а, b) площини?

6 Яка відповідність встановлюється між множиною комплекс-них чисел і множиною точок на площині?

7 Як називається така площина?

Завдання 12 Прочитайте текст 4. Скажіть, чим він відрізняється від попередніх текстів?

Текст 4 Комплексні числа

Давньогрецькі математики вважали «справжніми» тільки натуральні числа, але в практичних розрахунках за два тисячоліття до н.е. у Стародавньому Єгипті і Стародавньому Вавилоні вже застосовувалися дроби.

Наступним важливим етапом у розвитку поняття про число було введення від’ємних чисел. Це було зроблено китайськими математиками за два століття до н.е. Від’ємні числа застосовував в III ст. давньогрецький математик Діофант, що знав вже правила дій над ними, а в VII ст. ці числа детально вивчили індійські учені, які порівнювали такі числа з боргом. За допомогою від’ємних чисел можна було в однаковий спосіб описувати зміни величин. Уже в VIII ст. було встановлено, що квадратний корінь з додатного числа має два значення – додатне і від’ємне, а з від’ємних чисел квадратний корінь добути не можна: немає такого числах, щоб х² = –9.

У XVI ст. у зв’язку з вивченням кубічних рівнянь виявилося необхідним добувати квадратний корінь з від’ємних чисел.

Формула для розв’язання кубічних рівнянь містить кубічний і квадратний корінь. Ця формула безвідмовно діє в разі, якщо рівняння має один дійсний корінь, а якщо воно мало три дійсні корені, то під знаком квадратного кореня виявлялося від’ємне число. Виходило, що знайти ці три корені рівняння можна тільки шляхом добування квадратного кореня від’ємного числа.

Щоб пояснити парадокс, італійський учений Дж. Кардано в 1545 р. запропонував ввести числа нової природи, умовитися діяти над такими числами за правилами звичайної алгебри і вважати, що . Кардано називав такі величини «суто від’ємними» і прагнув не застосовувати їх. Насправді, за допомогою таких чисел не можна виразити ні результат вимірювання якоїсь величини, ні зміну цієї величини. Однак уже в 1572 р. вийшла книга італійського алгебраїста Р. Бомбеллі, у якій були встановлені перші правила арифметичних операцій над такими числами, аж до добування з них кубічного кореня. Назву «уявні числа» ввів у 1637 р. французький математик і філософ Р. Декарт, а в 1777 р. один із найбільших математиків XVIII ст. Л. Ейлер запропонував використовувати першу букву французького слова imaginare (уявний) для позначення числа («уявної» одиниці). Цей символ став загальновживаним завдяки К. Гауссу (1831).

Поступово розвивалася техніка операцій над комплексними числами. На межі XVII і XVIII ст. була побудована загальна теорія кореня п-го степеня спочатку з від’ємних, а потім – із будь-яких комплексних чисел. У XVII Л. Ейлер вивів формулу, за якою можна підносити число е до будь-якого комплексного степеня.

Наприкінці XVIII ст. французький математик Ж. Лагранж зміг сказати, що уявні величини вже не утруднюють математичного аналізу. За допомогою комплексних чисел навчилися виражати розв’язки лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Я. Бернуллі застосував їх для обчислення інтегралів.

Наприкінці XVIII – на початку XIX ст. було отримане геометричне тлумачення комплексних чисел. Це дозволило визначити багато понять, пов’язаних з функціями комплексної змінної, використовувати комплексні числа в розв’язанні питань з векторними величинами.

Завдання 13 Розставте інформацію за порядком відповідно до прочитаного тексту.

1 Було отримане геометричне тлумачення комплексних чисел.

2 За допомогою комплексних чисел навчилися виражати розв’язки лінійних диференціальних рівнянь з постійним коефіцієнтом.

3 Р. Декарт ввів назву «уявні числа».

4 Виникла необхідність добувати корінь з від’ємного числа.

5 Китайські математики ввели від’ємні числа.

6 Давньогрецькі математики вважали «справжніми» тільки натуральні числа.

7 У Стародавньому Єгипті і Стародавньому Вавилоні вже застосовували дроби.

8 Діофант застосовував від’ємні числа і вже знав правила дій над ними.

9 Дж. Кардано запропонував ввести числа нової природи і правила для них.

10 Л. Ейлер запропонував використовувати букву i для позначення «уявної» одиниці.

11 Була побудована загальна теорія кореня n-го степеня спочатку з від’ємних, а потім – із комплексних чисел.

12 Формула Ейлера дозволила підносити число е до будь-якого комплексного степеня.

Завдання 14 Запишіть речення в правильному порядку, додаючи, де можна, вказівку на час (століття).