Универсум

У

Рис. 6. Универсум U и множества A, B, C.

ниверсумом называется множество, содержащее элементы всех множеств, рассматриваемых в данной задаче.

На диаграмме Венна универсум обычно изображается прямоугольником. На рисунке 6 показаны множества A, B, и C, элементы их объединения образуют универсум U.

Поскольку всякое множество задачи X является подмножеством множества U, разность является дополнением множества X: . Из рисунка 6 видно, что множество C является дополнением множества . Очевидны следующие равенства: ,

.

Классификация объектов

Непустые подмножества K₁, K₂, ... , K_n множества U называют классами, если всякий элемент множества U принадлежит какому-то из этих подмножеств и причем только одному.

Данное определение указывает на два свойства классов: 1) их попарную непересекаемость; 2) покрытие (объединение этих подмножеств равно исходному множеству U). Другими словами — выделение классов означает разбиение исходного множества (рода) на непересекающиеся виды.

Остановимся на процедуре разбиения множества U. Относительно некоторого свойства A можно выделить два класса: K₁=A — подмножество элементов, обладающих этим свойством, и K₂= подмножество, элементов, не обладающих свойством A. Так множество студентов вуза относительно свойства «участвовать в научной конференции» разбивается на классы: K₁={студенты, участвующие в конференции} и K₂={студенты, не участвующие в конференции}.

Разбиение множества U по двум свойствам «участвовать в конференции» (A) и «посещать спецкурс» (B) может дать четыре класса: K₁= ; K₂= ; K₃= ; K₄= (см. рис. 7). Попробуйте самостоятельно составить их словесные описания.

Вообще при классификации по n свойствам можно выделить 2ⁿ попарно непересекающихся подмножеств. Однако некоторые из выделенных подмножеств могут оказаться пустыми, и тогда на самом деле число классов может быть меньшим.

К

Рис. 7. Разбиение множества U по двум свойствам.

лассификация помогает ученым выявлять отношения и связи между объектами. Это мощный инструмент научного познания.

Процесс разбиения множества на классы называют также факторизацией. Множество классов называется фактор-множеством. В приведенном выше примере путем разбиения множества U, получено фактор-множество .

Заметим, что фактор-множество не равно множеству U, так как элементами фактор-множества являются классы, а не элементы множества U.

Булеан

Множество различных подмножеств множества X называется булеаном⁵ этого множества и обозначается .

Пример. Пусть , тогда булеан этого множества:

.

Алгебраические системы

Множество X, на котором заданы алгебраические действия (операции), называется алгебраической структурой (или алгебраической системой). Множество X называется носителем алгебры, а список операторов (знаков действий) — сигнатурой алгебры. Для алгебры важно, чтобы действия проводились над любыми элементами множества, и результатом являлся элемент этого же множества.

На множестве N всюду определены сложение и умножение. Потребность включения в алгебру вычитания привела к понятиям отрицательных чисел и нуля. Множество целых чисел Z получает дальнейшее обобщение в связи с тем, что на нём не всюду определено деление, появляются дроби. Множество рациональных чисел Q можно считать замкнутым относительно операций +, –, , /, с единственной оговоркой — неопределенно деление на нуль. Рассмотрение других действий приводит к открытию иррациональных чисел, которые в совокупности с рациональными образуют множество действительных чисел R. В дальнейшем потребность всюду определить операции возведения в дробную степень привела к открытию комплексных чисел.

Множество высказываний также является алгебраической системой.

.

Алгебраической системой является также булеан любого множества. На нем определены операции пересечения, объединения, вычитания и дополнения:

.