Тема 8. Случайные воздействия в линейных сау.

Цель лекции: изучить понятие случайного воздействия (функции); способы преобразование случайных сигналов.

План лекции:

1. Случайные воздействия.

2. Преобразование стационарной случайной функции.

1. В теории вероятности различают (в порядке нарастающей сложности): случайные события, случайные величины и случайные процессы.

Случайным событием А называется такое, которое при данных условиях может произойти, а может и не произойти.

Случайной величиной Х называется такая величина, появление каждого значения которой представляет собой случайное событие. Эти величины могут быть дискретными и непрерывными. В практи­ке регулирования в основном встречаются непрерывные случай­ные величины. Они характеризуются следующими статистичес­кими характеристиками:

- закон распределения F(х) случайной величины;

- плотность вероятности f(х) случайной величины;

- математическое ожидание случайной величины;

- дисперсия случайной величины;

- среднеквадратичное отклонение случайной величины;

- средний квадрат случайной величины.

Случайным процессом называется такая функция времени, значение которой в любой момент времени представляет собой случайную величину. Случайные процессы также исследуются статистически, т.е. путем проведения и обработки множества опы­тов. Причем график случайного процесса, полученный в каждом отдельном опыте, называется реализацией случайного процесса. Сам по себе он случайным не является, поскольку реализация от­ражает уже состоявшийся факт, ставший детерминированным. Бесчисленное множество (ансамбль) реализаций применяется как одна из форм наглядного представления случайного процесса. При таком представлении каждое значение x(t) можно рассмат­ривать как сечение ансамбля реализаций. Статистические характеристики случайного процесса делятся на: одномерные (т.е. относящиеся к одному сечению) и многомер­ные (относящиеся к двум и более сечениям). Одномерные харак­теристики такие же, как у любой случайной величины, и они не могут охарактеризовать связи между сечениями. При равном О математическом ожидании для каждого сечения процесс называ­ется центрированным. Из многомерных наиболее употребитель­ны двумерные, т.е. характеризующие два сечения, а из них, в свою очередь, корреляционная функция, которая представляет собой математическое ожидание произведения двух сечений.

Стационарным называется случайный процесс, статистические характеристики которого не зависят от выбора начала расчета времени.

Эргодическим называется такой стационарный случайный процесс, для которого средние по вероятности величины равны соответствующим средним по времени, определенным для одной достаточно продолжительной реализации, существующей на отрезке.

Корреляционная (автокорреляционная) функция случайного процесса – функция двух переменных, значение которой для каждой пары произвольно выбранных моментов времени равно корреляционному моменту соответствующих сечений центрированного случайного процесса. Корреляционная функция отражает вероятностную взаимосвязь (корреляцию) между случайными величинами.

Спектральная плотность S(ω) - преобразование Фурье корреляционной функции случайного процесса.

2. Преобразование спектральных плотностей при прохождении сигналов через линейную систему.

Пусть для САР заданы спектральные плотно­сти: S_х(ω) - задающего воздей­ствия; S_f(ω) - возмущения (помехи). Необходимо найти спектральную плотность вы­ходной величины S_у(ω). Для этого выразим комплексный частотный спектр Δ_т (jω) выходной ве­личины через спектры входных воздействий и соответствующие частотные передаточные функции. Взаимные спектральные плотности могут быть найдены, как преобразования Фурье от соответствующих взаимных корреляци­онных функций. Если случайные процессы независимы, то их взаимные спектральные плотности равны нулю. В этом случае фор­мула преобразования спектральных плотностей уп­ростится. Таким образом, при независимых входных случайных воздей­ствиях спектральная плотность выходной величины линейной САР равна сумме произведений спектральных плотностей вход­ных воздействий на квадраты модулей соответствующих частот­ных передаточных функций.

Статистическая линеаризация нелинейных элементов.

Линеаризация нелинейных элементов. При статистической линеаризации входные и выходные сигналы нелинейного элемен­та как стационарные случайные процессы рассматриваются в виде сумм соответствующих математических ожиданий и цент­рированных составляющих, причем средние квадраты последних равны дисперсиям.

Нелинейный элемент в целях упрощения расчета заменяется двумя квазилинейными элементами (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1 – Замена нелинейного элемента двумя квазилинейными элементами

Элементы этой эквивалентной схемы называются квазилиней­ными, так как их коэффициенты статистической линеаризации зависят от статистических характеристик т_х и D_х входного сиг­нала нелинейного элемента. Для всех типовых нелинейностей эти функции рассчитаны для стационарного процесса с нормальным законом распределения и приводятся в справочной литературе. Обычно даются два варианта этих функ­ций, рассчитанных по различным методикам:

1. Исходя из равенства математических ожиданий выходных сигналов реального нелинейного элемента и его эквивалентной модели, а также из равенства соответствующих дисперсий.

2. Исходя из минимума среднего квадрата разности между выходными величинами реального нелинейного элемента и его эквивалентной модели.

Расчет статистически линеаризованной нелинейной системы. Предполагается замена нелинейного элемента его эквивален­тной моделью, в результате чего известная структурная схема одноконтурной САР превращается в две взаимосвя­занные и сходные по виду квазилинейные структурные схемы. Первая из них отражает преобразование математических ожида­ний, а вторая - центрированных составляющих (рисунок 8.2).

Рисунок 8.2 – Превращение структурной схемы одноконтурной САУ в две квазилинейные структурные схемы

Для каждой из этих схем записывают по одному уравнению и решают их совместно относительно математического ожидания т_х и дисперсии D_x. Для первой схемы можно записать уравнение по теореме о предельном значении функции, а для второй - уравнение для дисперсии, как и для линейных САР.

Контрольные вопросы:

1. Что называется случайным событием?

2. Что называется случайной величиной?

3. Какими статистическими характеристиками характеризуются случайные величины?

4. Что называется случайным процессом?

5. Какой случайный процесс называется стационарным случайным процессом?

6. Какой случайный процесс называется эргодическим случайным процессом?

7. что называется спектральной плотностью?

8. Каким образом выполняется статистическая линеаризация нелинейной системы?