§2. Гармонічний ряд

Ряд (8.8)

називається гармонічним.

Доведемо розбіжність цього ряду. Скористаємося тим, що змінна при необмеженому зростанні n прямує до неперового числа e, залишаючись меншим своєї границі. Тому при

любому цілому додатному маємо .

Звідси або або

Підставляючи в останню нерівність замість числа 1,2,3,... одержимо нерівності:

Додавши почленно ці нерівності, одержимо

або

Але а тому і тобто ряд (8.8) розбігається.

§3. Необхідна ознака збіжності числового ряду

ТЕОРЕМА. Якщо ряд

(8.9),

збігається, то його -ий член при необмеженому зростанні номера прямує до нуля.

Доведення. Ми маємо і

. Звідси . Оскільки

даний ряд збігається, то і . Звідси

що і

потрібно було довести.

Приклад. Дослідити збіжність числового ряду

.

Розв’язування. Загальний член ряду Знайдемо при його границю :

Отже, даний ряд є розбіжним.

Відмітимо, що є лише необхідною умовою збіжності числового ряду, але не достатньою. Це означає, що дана умова може виконуватися, але відповідний числовий ряд може бути розбіжним.

Прикладом є гармонічний ряд .

Як бачимо, необхідна умова для цього ряду виконується:

, однак він є розбіжним .

Існує декілька ознак, які дозволяють стверджувати збіжність або розбіжність числових рядів.

§4. Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатними членами

4.1. Ознака порівняння рядів

Теорема. Якщо кожний член ряду

(8.10)

з додатними членами менший (або рівний) відповідного члена

збіжного ряду

(8.11)

з додатними членами, то ряд (8.10) збігається.

Якщо кожний член ряду (8.10) більший (або рівний) відповідного члена розбіжного ряду (8.11), то ряд (8.10) розбігається.

Доведення. Нехай і ряд (8.11) збігається. Складемо суми перших членів рядів (8.10) і (8.11):

Оскільки то

Ряд (8.11) збігається, то Звідси випливає, що При необмеженому зростанні номера послідовність сум як зростаюча послідовність і обмежена звер- ху числом , має границю тобто а тому ряд (8.10) також збігається.

Нехай і ряд (8.11) розбігається. Тоді в силу нерівностей випливає, що Але оскільки то також буде необмежено зростати , тобто ряд буде розбігатися.

Приклад 1. Дослідити збіжність ряду

Розв’язування. Порівняємо даний ряд з нескінченно спадною геометричною прогресією

Оскільки для довільного , а ряд нескінченно спадної геометричної прогресії є збіжним рядом, то згідно з ознакою порівняння рядів вихідний ряд буде збіжним.

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду

Розв’язування. Даний ряд порівняємо з гармонічним рядом. Для довільного виконується нерівність

Як було показано вище, гармонічний ряд розбігається, отже даний ряд розбігається також.

4.2. Ознака Даламбера

ТЕОРЕМА. Нехай всі члени ряду додатні і нехай при необмеженому зростанні номера границя відношення го члена до -го існує і дорівнює деякому числу , тобто .

Тоді :

1. Якщо , то ряд збіжний.

2. Якщо , то ряд розбіжний.

3. Якщо , то ознака не дає відповіді на питання про збіжність або розбіжність ряду, тобто ряд в даному випадку може як збігатися , так і розбігатися.

Доведення. Нехай маємо ряд

(8.12)

складений із додатних чисел, і нехай

. (8.13)

Тоді при достатньо великому n, тобто при n не меншому деякого числа N маємо:

, де - як завгодно мале додатне число. Звідси

як тільки .

а) Нехай l<1. Ми зможемо вибрати число ε настільки малим, що l+ε також буде менше одиниці, тоді, поклавши l+ε=q, одержимо:

, і т.д.

Отже, .

Звідси випливає, що члени ряду ., які представляють N- ий залишок ряду (8.12), менші відповідних членів нескінченно спадної геометричної прогресії

(знаменник .

Цей ряд збіжний, отже ряд (8.12) збіжний.

б) Нехай . Тоді можна підібрати таким, що при буде справедлива нерівність

. (8.14)

де вибирається настільки малим, щоб величина залишалась більшою 1. Тоді кожний наступний член ряду буде більшим за попередній, а це суперечить необхідній ознаці збіжності ряду.

Отже, ряд розбігається.

в) В тому випадку, коли границя l=1, ознака Даламбера не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду. Ряди можуть бути як збіжними так і розбіжними.

Приклад 1. Дослідити збіжність ряду

.

Розв’язування. Оскільки , то , а значить,

Тут

Оскільки , то згідно з ознакою Даламбера даний ряд збігається.

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду

.

Розв’язування. Тут , .

Тому

Оскільки l=∞, то за ознакою Даламбера числовий ряд розбігається.

Приклад 3. Дослідити збіжність ряду

Розв’язування. Знаходимо

Одержану невизначеність типу розкриємо за правилом Лопіталя:

Тому за ознакою Даламбера збіжність вихідного ряду встановити неможливо. Якщо ознака Даламбера не дає відповіді на питання про збіжність ряду (при l=1), потрібно використати інші ознаки дослідження збіжності даного ряду.