x₁,x₂,… і навпаки, якщо задано послідовність її першими членами, то можна завжди записати її загальний член. Наприклад, нехай

1) , n N .

Маємо , ,…….., ,…

2) , , ,….

Звідси випливає, що , n N .

Як вже зазначалося вище, для задання послідовності необхідно знати правило, за яким кожному значенню n ставиться у відповідність дійсне число x_n=f(n). Таке правило може бути задане за допомогою формули, як це зроблено у наведених вище прикладах. Проте є інші способи задання послідовностей. Наприклад, візьмемо за (x_n) -ну цифру розкладу числа π у нескінчений десятковий дріб. Матимемо послідовність 3,1,4,1,…

Тут правило відповідності задано словесно.

Іноді при заданні послідовності задається її перший член і правило утворення n-го члена за допомогою попередніх членів. Такий спосіб називається рекурентним. Наприклад, нехай перший член послідовності дорівнює 2, а кожний наступний дорівнює попередньому, помноженому на 10. Тоді x_n+1=10x_n , x₁=2,n N .

Серед числових послідовностей в окремий клас виділяють так звані монотонні послідовності, що об’єднують в собі зростаючі, спадні, неспадні, незростаючі послідовності.

Означення 2. Послідовність (x_n) називається зростаючою, якщо кожний її наступний член більший від попереднього, тобто для кожного .

Наприклад, послідовність, є зростаюча.

Означення 3. Послідовність (x_n) називається неспадною, якщо для кожного .

Наприклад, послідовність є неспадна.

Означення 4. Послідовність (x_n) називається спадною,

якщо для кожного .

Наприклад, послідовність є спадна.

Означення 5. Послідовність ( називається незростаючою, якщо для кожного .

Для дальшого вивчення числових послідовностей необхідно ввести в розгляд такі арифметичні операції над числовими послідовностями: додавання, віднімання, множення та ділення.

Нехай маємо дві послідовності

Тоді додавання, віднімання та множення двох послідовностей виконуються додаванням, відніманням та множенням відповідних членів цих послідовностей.

Якщо всі n N , то частка від ділення послідовності ( на послідовність визначається як послідовність

члени якої , n N .

Символічно ці дії позначаються так:

Означення 6. Числова послідовність називається обмеженою, якщо існують дійсні числа і такі, що для всіх

n N виконуються нерівності .

У протилежному випадку послідовність називається

необмеженою.

Часто користуються еквівалентним означенням обмеженості послідовності.

Означення 7. Числова послідовність називається

обмеженою, якщо існує дійсне число С таке, що для всіх

 N виконується нерівність |x_n|≤C.

Частинними випадками послідовності є арифметична та геометрична прогресія.

Означення 8. Арифметична прогресія - це числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого , дорівнює попередньому, збільшеному на число d, яке називається різницею прогресії. , .

Наприклад, для послідовності 12,+2,-8,-18,…, а₁=12 і .

Загальний член арифметичної прогресії знаходиться за формулою: .

Сума членів скінченої арифметичної прогресії

дорівнює: або .

Ці поняття і формули застосовуються при нарахуванні простих відсотків.

Так, якщо сума капіталу P вкладена під R відсотків річних,то після першого року буде одержано прибуток величиною

.

Якщо вкладення капіталу здійснюється під простий річний відсоток, то прибуток зростає на однакову величину з кожним роком: P, P+d, P+2d,…,. Ці значення утворюють арифметичну прогресію. Отже, величина капіталу P, що вкладений під простий річний відсоток R , через n років буде

.

Наприклад, вкладається 50000 гр. під простий річний відсоток 25%. Тоді через два роки вкладник матиме

.

Часто - називають питомою відсотковою ставкою (або нормою відсотка). Отже, .

Означення 9. Геометричною прогресією називається послідовність, кожний наступний член якої дорівнює попередньому, помноженому на одне і те саме число , яке називається знаменником геометричної прогресії.

Якщо - прогресія спадна, >1 – прогресія зростаюча.

За означенням або .

Сума n членів скінченої геометричної прогресії знаходиться за формулою .

Сума членів нескінченої спадної геометричної прогресії знаходиться за формулою: .

Припустимо, що вкладник дає банку 50000 грн. з умовою щорічного зростання на 25% складних відсотків , тобто щороку величина капіталу, що знаходиться на рахунку вкладника в банку повинна зростати на 25%. Після 1-го року матимемо: .

Після другого року:

.

Зрозуміло,що після -го року матимемо , тому величина капіталу P, що зростає щороку на R складних відсотків, через – років прийме значення: .

Найпростішим типовим рахунком накопичення є такий рахунок фізичної або юридичної особи, на який регулярно нараховується відсоткова ставка і зараховується новий вклад.

Задача. Кожного місяця працівник (студент) вносить 100 гривень на свій рахунок накопичення з одержанням прибутку величиною 2% щомісячно. Обчислимо величину його накопичень:

а) після здійснення 24 внеску;

б) після здійснення n внеску.

Кожний внесок за місяць зростає в 1,02. Тому перший внесок за 23 місяці перебування на рахунку прийме значення 100(1,02) . Другий внесок знаходився на рахунку 23 місяці (100(1,02) ) і т.д.

Загальна сума накопиченого рахунку студента прийме значення:

.

Отже,

- формула накопичення.

• Розрахунки ренти

Багато людей в країнах з ринковою економікою живуть за рахунок ренти, тобто регулярно на протязі певного терміну одержують обумовлену суму коштів з відповідного рахунку в банку або страховій компанії. Скільки треба поставити на рахунок ренти, щоб одержувати відповідні кошти?

Нехай А – величина внеску на рентний рахунок. З цього рахунку здійснюються виплати Р щорічно на протязі n років і величина внеску щорічно зростає на R відсотків.

- кошти, які вкладені на рахунок ренти і дадуть через один рік виплату Р.

Отже, .

- кошти, які вкладені на рахунок ренти і через два роки дадуть виплату Р.

і т.д.

.

Таким чином на рахунок ренти треба покласти суму:

.

Це сума n –членів геометричної прогресії:

і .

де

• Погашення боргу

Процес повернення боргу регулярно, певними частинами, в певний термін і протягом домовленого часу з виплатою певного відсотку називається погашенням боргу.

З математичної точки зору погашення боргу – це задача про ренту.

Страхова компанія взяла в борг суму А і виплачує

борг: ; .

Задача. На час навчання студент академії народного господарства отримав з фонду навчання в борг 17000 грн. Цей кредит йому надано із 8% щорічного зростання і умовою повернення (щорічно) в кінці кожного року після закінчення академії протягом 15 років. Скільки коштів повинен повертати студент кожного року?

,

3.2. Границя числової послідовності

Розглянемо такі числові послідовності:

1) де

2) де

3) де

4) де .

Аналізуючи наведені приклади, можна стверджувати, що змінна x_n при зростанні n ( - “ен” прямує до нескінченості ) в прикладі 1)наближається до нуля ( залишаючись більшою від нуля); в прикладі 2) змінна зростає, наближаючись до одиниці (залишаючись меншою за одиницю); в прикладі 3) відбувається процес наближення змінної до нуля, але її значення коливається в околі нуля; в прикладі 4) не можна визначити до якого числа наближається змінна ,  . Оскільки в прикладах 1)–3) є те, що змінна при зростанні наближається до сталої величини, то в таких випадках говорять, що змінна має границю при n .

Означення. Число називається границею числової послідовності ( ), якщо для будь-якого наперед заданого як завгодно малого додатного числа існує такий номер , починаючи з якого виконується нерівність

, (3.5)

як тільки .

Той факт, що є границею послідовності ( ), символічно записують так:

або (при ). (3.6)

Ми будемо користуватися першим позначенням ( - від латинського слова , що означає “границя”).

Отже, в розглянутих нами прикладах 1)–3) границі вказаних послідовностей відповідно дорівнюють

1) 2) 3) а для прикладу 4) відповідь така: границя не існує.

Враховуючи нерівність (3.5), стверджуємо, якщо послідовність ( ) має границею число , то , починаючи з деякого номера всі її члени знаходяться в околі точки .

Примітка. Якщо , ( - стала величина), то зрозуміло , що для всіх Тому справедливе таке твердження: Границя сталої величини дорівнює цій сталій величині, тобто,

Послідовність, яка має скінчену границю, називається збіжною, у протилежному випадку - розбіжною.

3.3. Основні теореми про границі числових послідовностей

ТЕОРЕМА 1. Послідовність може мати тільки одну границю.

Доведення. Припустимо, що і , при чому

a≠b.

Виберемо Згідно з означенням границі послідовності виконуються нерівності

для

для

Візьмемо тепер натуральне число , більше за N₁ і N₂ .

Отже, для n>N одночасно будуть виконуватися обидві вище написані нерівності, на основі яких одержуємо

Звідси знаходимо, що , а це неможливо, якщо Таким чином, наше припущення, що послідовність може мати різні границі, привело до протиріччя. Збіжна послідовність може мати тільки одну границю. Теорема 1 доведена.

ТЕОРЕМА 2. Нехай послідовності (x_n) і (y_n) мають відпо–відно границі a і b Тоді сума (x_n+y_n) (різниця (x_n-- y_n)) має границю, яка дорівнює , тобто

. (3.7)

ТЕОРЕМА 3. Нехай послідовності і мають відповідно границі і Тоді і їх добуток має границю, яка дорівнює , тобто

(3.8)

З теореми 3 випливають такі наслідки .

1. Сталий множник можна винести за знак границі.

Справді, нехай , а має границю. Тоді

. (3.9)

2. Якщо і - натуральне число, то

ТЕОРЕМА 4. Нехай послідовності і мають скінчені границі, які відповідно дорівнюють , причому Тоді і їх відношення

має скінчену границю, яка дорівнює , тобто

. (3.10)

ТЕОРЕМА 5. Послідовність , яка має границю, є обмежена.

ТЕОРЕМА 6. Нехай члени послідовностей , , при всіх значеннях задовольняють нерівності і . Тоді .

Доведення. Оскільки число є границею послідовності , то згідно означення границі послідовності для будь-якого існує таке число, наприклад , що для всіх виконується або , .

Аналогічно існує таке число, наприклад, , що при

, .

Тоді, взявши число більше за і і використавши умову теореми 6 та попередні нерівності, дістанемо при nN, що рівносильно при nN.

Остання нерівність й доводить теорему 6.

Означення. Нехай (x_n) задана послідовність і (n_k) - довільна зростаюча послідовність натуральних чисел, то послідовність називається підпослідовністю послідовності (x_n).

З означення границі послідовності випливає правильність твердження.

ТЕОРЕМА 7. Якщо послідовність має границю , то й будь-яка її послідовність має ту саму границю .

Справді, якщо число є границею послідовності , то для будь-якого числа в - окіл точки потрапляють всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого номера Проте, тоді в цей окіл потрапляють і всі члени послідовності як тільки А це означає, що число є границею

послідовності , тобто .

Примітка 1. Враховуючи (3.8) і (3.9), маємо таке твердження: сталий множник виноситься за знак границі, тобто

(3.11)

Примітка 2 У вищій математиці, якщо у граничному переході вигляду (3.10) одержується дія , то кажуть, що дія допустима і в результаті одержуємо нуль. Наприклад,

З другої сторони будемо вважати , якщо у граничному

переході вигляду (3.10) одержується дія , , то

результатом такого граничного переходу є відповідь нескінченість. Наприклад,

Примітка 3. Якщо при граничних переходах (3.8)-(3.10) одержуються вирази такого вигляду: то такі вирази будемо називати невизначеними.