Часть I. Информация, системы счисления, основы логики, информационные модели 33

1 3 7

Получаем в результате число 137 в восьмеричной системе счисле­ния.

Ответ: 137.

2.4. Чему равна сумма чисел 43₈ и 56₁₆?

1)121₈ 2)171, 3)69₁₆ 4)1000001₂

Решение

Преобразуем 43₈ и 56,₆ в двоичную систему счисления:

43₈= 100011₂

56_|6= 1010110₂

Выполним сложение в двоичной системе счисления:

100011₂+1010110₂=1111001₂

Преобразуем результат в систему счисления с основанием 8:

1111001₂=171₈

Подходит вариант 2.

Ответ: 2.

2.5. Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 126 равно:

1)1 2)2 3)3 4)0

Решение

Способ I. Преобразуем число 126 в двоичную систему:

Число

о

Неполное частное Остаток

126	2	= 63
63	2	= 31
31	2	= 15
15	2	= 7
7	2	= 3
3	2	= 1
1	2	= 0

Выписав остатки от деления, получим: 126 = 1111110₂.

Способ 2. Число 126 можно представить как разность чисел 128 = 2⁷ и 2, для которых легко найти двоичные представления, после чего останется вычислить полученную разность в двоичной системе:

2. Мпформшнка. Нолитшки к 1-х')

34

Информатика

126= 128-2= 10000000₂ - 10₂ = 1111110₂ Ответ: 1.

2.6. Перевести число 15FC₁₆ в десятичную систему счисления.

Решение

15FC₁₆ = 1-16³ + 516² + 15-16¹ + 1216° = = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628 Ответ: 5628.

2.7. Перевести число 101101₂ в десятичную систему счисления.

Решение

101101₂=1-2⁵ + 0-2⁴+ 1-2³+ 1-2² + 0-2¹ + 1-2°= 32 + 8 + 4+1 =45 Ответ: 45.

2.8. Перевести число 101,11₂ в десятичную систему счисления.

Решение

101,11₂ = 1-2² + 0-2¹ + 1-2° + 1-2-¹ + 1-2-² = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5,75 Ответ: 5,75.

2.9. Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную и восьмеричную системы счисления.

Решение

Перевод в двоичную систему

Перевод в восьмеричную систему

	0,1875 х2
0	,3750 х2
0	,7500 х2
1	,5000 х2
1	,0000

	0,1875 х8
1	,5000 х8
4	,0000

Ответ: 0,0011₂, 0,14_g.

2.10. Перевести двоичное число 110111101011101111₂ в шестнадца-теричную систему счисления.

Решение

Разделим данное число на группы по четыре цифры, начиная справа. Поскольку при этом в крайней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополним слева эту группу нулями: 0011 0111 1010 1110 1111.

Часть I. Информация, системы счисления, основы логики, информационные модели 35

Теперь, глядя на двоично-шестнадцатеричную таблицу (см. пункт «Системы счисления с основанием 2"» в разделе «Справочные сведе­ния»), заменим каждую двоичную группу соответствующей шестнад-цатеричной цифрой: 3 7 А Е F.

Ответ: 37AEF₁₆.

2.11. Дано а = D7₁₆, Ъ = 331₈. Какое из чисел с, записанных в двоичной системе, отвечает условию а<с<Ы

1)11011001₂ 2)11011100₂ 3)11010111₂ 4)11011000₂ Решение

Вначале следует записать числа а и Ъ в двоичной системе счисления. Воспользуемся быстрым переводом для систем счисления с основанием 2". Получаем а = D7₁₆= 11010111₂, b = 331_g= 11011001₂. Осталось срав­нить найденные двоичные числа с предложенными вариантами. Числа из вариантов 1 и 3 совпадают с числами Ъ и а соответственно, число из варианта 2 больше числа Ь, и только число из варианта 4 находится между а и Ъ:

11010111₂< 11011000₂< 11011001₂

Ответ: 4.

2.12. Количество цифр в двоичной записи десятичного числа, которое можно представить в виде 2 + 8+16 + 64+128 + 256 +512, равно:

1)7 2)8 3)9 4)10

Решение

Заметим, что целое число, имеющее вид 2", в двоичной записи пред­ставляется одной единицей и и нулями, приписанными справа. В нашем примере все слагаемые являются степенями двойки и встречаются только по одному разу.

2 = 2' = 10₂

8 = 2³ = 1000₂

16 = 2⁴= 10000₂

128 = 2⁷ = 10000000₂

256 = 2" = 100000000₂

512 = 2' = 1000000000₂

Следовательно, сумма будет содержать столько же цифр, сколько и самое большое слагаемое: 512 = 2'= 1000000000₂. Итак, количество цифр равно 10.

Ответ: 4.

36

Информатика

2.13. Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления окан­чивается на 101. Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Решение

Воспользуемся развернутой формой записи числа в двоичной системе счисления для чисел, не превышающих 25:

^А_ч = "„ ><?"' ⁺ «..г*""^{2 +} ■■• ^{+ а}о<?°> ^гД^е ? = 2, в₀ = 1, в, = 0, а₂ = 1. Поскольку 25 < 2⁵, такие числа должны иметь представление я_Л2⁴ + я,2³ + 1-2² + 0-2'+ 1-2°.

4 3

Рассмотрев все варианты значений для а₄ и а_у получим искомые значения А :

«4	«3	А ч
0	0	5
0	1	13
1	0	21
1	1	29

Последнее найденное число превосходит 25, поэтому в ответ его включать не следует. Ответ: 5, 13,21.

2.14. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

Решение

Воспользуемся развернутой формой записи числа

A_q = а_яЛ?^л + a^tf¹ + ... + a_acf, где A_q = 22, а₀ = 4.

Если отнять от числа А число а₀, то полученное число будет кратно основанию системы счисления q. Воспользуемся этим, чтобы найти все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

В нашем случае А -д₀ = 22-4=18.

Теперь выпишем все делители числа 18: 2, 3, 6, 9,18.

Отбросим основания 2 и 3, поскольку они соответствуют системам счисления, в которых не может присутствовать цифра 4. Останутся следующие основания: 6,9, 18.

Ответ: 6,9, 18.

2.15. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 19 трехзначна.