Завдання № 1

Тема : Обчислення визначників другого і третього

порядку. Розв'язування системи лінійних рівнянь

методoм Крамера, методом Жордана –Гауса та

матричним методом.

Вказівки та зразки розв’язування задач.

Розв’язати систему рівнянь:

а) методом Крамера;

б) методом Жордана-Гаусса;

в) матричним методом.

Для розв’язання задачі методом Крамера знаходимо визначник системи:

Оскільки визначник системи відмінний від нуля, то вона завжди сумісна і має єдиний розв’язок, який знаходять за формулами Крамера: одержуємо з визначника  заміною і-го стовпця стовпцем вільних членів. Знаходимо:

₁= -9, ₂= -18, ₃= -9. Отже х₁=1; х₂= 2; х₃=1 – єдиний розв’язок системи.

Метод Жордана – Гауса полягає в послідовному виключенні невідомих. Запишемо матрицю із коефіцієнтів рівняння:

.

Виключимо невідому х₁ з другого і третього рівняння. Для цього додамо перше і друге рівняння, перше рівняння помножимо на (-2) і додамо до третього. В результаті отримаємо:

.

Виключимо змінну х₂ з третього рівняння. Для цього додамо друге і третє рівняння. Після чого отримуємо:

.

В результаті одержуємо систему:

.

З одержаної системи послідовно визначаємо х₁, х₂, х_3. Отже множина точок {1, 2, 1} є розв’язком вихідної системи лінійних рівнянь.

Для розв’язування системи рівнянь матричним методом введемо позначення

У матричній формі систему лінійних рівнянь запишемо так AX=B

Звідси, одержимо розв’язок:X=A^-1B. Знайдемо обернену матрицюA^-1,

1. Обчислимо визначних матриць =

2. Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці А:

Запишемо матрицю з цих алгебраїчних доповнень:

Транспонуючи її, одержимо приєднану матрицю:

Тоді обернена матриця має вигляд:

Знаходимо розв’язок системи:

.

Отже, х₁=1; х₂= 2; х₃=1 – єдиний розв’язок системи лінійних рівнянь.

Завдання. Розв'язати системи рівнянь

а) методом Крамера;

б) методом Жордана-Гаусса;

в) матричним методом.

1. 3х + 8у = 30 2. 2x+3y+z=14 3. 3x-y+z=4

2х+3у-z=8 3х-у+2z=5 х+2у-z=4

x+5y+z=22 x+2y-z=7 2x+y+2z=16

4. x+2y+3z=13 5. x-2y+4z=6 6. 2x-3y+z=2

3х-2у+2z=16 2х-у+3z=11 2х+у-4z=9

4x-2y-5z=-5 4x+y-5z=9 6x-5y+2z=17

7. x+2y-z=9 8. 2x+y-3z=-1 9. 3x+2y+z=5

2х-у+3z=13 х-3у+2z=10 2х+3у+z=1

3x+2y-5z=-1 3x-4y-z=5 2x+y+3z=1

10. x+y+2z=-1 11. 2x+y+z=2 12. x+y+z=2

2х-у+2z=-4 х+3у+z=5 2х-3у-z=5

4x+y+4z=-2 2x+3y-3z=14 x +y-z=7

13. 5x+y-3z=-2 14. 5x+3y+3z=48 15. x-2y-z=2

4х+3у+2z=16 2х+6у+2z=18 х+2у-z=-4

2x-3y+z=17 8x-3y+2z=21 5x-10y-5z=10

16. 7x-3y+5z=32 17. x+2y+z=8 18. 3x+2y-5z=0

5х+2у+z=11 3х+2у+z=10 2х-3у+4z=3

2x-y+3z=14 4x+3y-2z=4 x+2y-z=2

19.x-2y+3z=6 20. x+y+2z=-1 21.  5x-8y-4z= -10

2х+3у-4z=20 2х-у+2z=-4  7x-y+11z =0

3x-2y-5z=6 4x+y+4z=-2  3x-11y-8z=-19

22.  5x- y + 4z= 25 23.  4x - 3y - z= 4 24.  12x - 4y - 3z = 4

 x - 4y + 3z = 16  -6x - 7y+ = -17  8x – 2y = 2

 17x – y - =17  7x - 8y - 7z = - 25  x – y +5z = -2

25.  2x +15y + 2z= -6 26. 5x + 3y-z = 20

 9x + 3z = -3 x + 7y + 5z =-14

 6x - 58y –21z = -1 5x + 7y + 12z = -1

27. 3x - 2z = 0 28. 2x - 4y - z = 30

4x + 2y - 3z = 0 x + z =10

5x + 2y - 4z = -2 3x + 2y - z = 16

29. 11x + 8y - 3z = 6 30. 5x - 4y + 7z = -40

3x + y + z = 3 19x - 22y - 45z =10

6x + 2y - z = -6 - 7y - 41z = 3