Вопрос 2. Непрерывные переменные потоки платежей

При изучении денежных потоков предполагалось, что денежные поступления сконцентрированы на одной из границ временного интервала. Таким образом, например, считалось, что ожидаемый в течение - го временного периода доход поступал одномоментно в конце этого периода. Если же денежные поступления на самом деле происходят более часто в разные моменты периода, а величина является их суммой, то ранее известные нам формулы оказываются в таком случае приближенными. Иногда получающиеся при таком применении формула погрешностями можно пренебречь. Однако в ряде ситуаций погрешности становятся значимо большими.

Другой способ оценки частых денежных поступлений – оценка их как непрерывного денежного потока.

Рассмотрим интервал времени и обозначим через денежное поступление, происходящее в момент времени из интервала . Тогда за время прирост денежных поступлений составит величину , а средняя скорость изменения величины денежных поступлений за время будет равна . Эту величину назовем также средней интенсивностью денежных поступлений (денежного потока) на промежутке . Мгновенную интенсивность потока в момент времени можно определить как предел средней интенсивности, когда продолжительность интервала стремится к нулю:

.

Величину будем также называть интенсивностью денежного потока в момент времени за некоторую базовую единицу времени. Если измеряется, например, в годах, то в качестве базовой единицы времени выступает один год.

Пусть интенсивность денежного потока известна. Разобьем точки ( ) весь период денежных поступлений на большое число N интервалов.

Если используется сложная процентная ставка , то приближенное значение приведенной стоимости денежного потока составит величину:

.

Чем меньше каждый из интервалов , тем более точное значение приведенной стоимости можно получить. Переходя соответствующим образом к пределу, можно написать: .

Если вместо процентной ставки применяется сила роста , то полагая получим .

Будущая стоимость непрерывного денежного потока при применении ставок и соответственно равна:

и .

На практике при оценке фактически непрерывно (очень часто) происходящих денежных поступлений их аппроксимируют некоторыми непрерывными функциями. В качестве профили доходов нередко удается использовать линейные и показательные функции. В общем случае денежный поток на временном отрезке может иметь смешанный вид. Например, некоторые аннуитетные платежи по существу поступают одномоментно (дискретно), а на некоторых интервалах времени поступление платежей можно считать непрерывными. Соответственно приведенная стоимость такого смешанного денежного потока определяется комбинацией формул.

При начислении непрерывных процентов для получения формул определения наращенной или современной величины потока платежей необходимо перейти к пределу, откуда:

• наращенная величина потока платежей

• где σ – сила роста.

• современная величина потока платежей

Вопросы для самоконтроля:

1. Какой поток платежей называется переменным?

2. В чем сущность потока с разовыми изменениями платежей?

3. В чем сущность непрерывных переменных потоков платежей?

4. Как вычисляется наращенная величина потока платежей?

5. Как вычисляется современная величина потока платежей?

6. Как вычисляется сила роста?

Рекомендуемая литература:

1. Бочаров П. П. Финансовая математика: Учебник.- 2-е изд. [Текст]- М.: Физматлит, 2007.- 574 с.

2. Александрова Т. Н. Финансовая арифметика. Просто как дважды два. [Текст] - М.: Эксмо, 2007.- 240 с.

3. Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учебник.- 7-е изд.. испр. [Текст]- М.: Дело, 2007.- 397 с.

4. Финансовая математика. Учебное пособие [Текст]/Под. ред. В.А. Половникова и А.И.Пилипенко. – М.: Вузовский учебник, 2004. – 352 с.