Тема 6. Анализ постоянных потоков платежей

Цель: Изучить понятие «поток платежей», виды потоков и формулы наращения и дисконтирования рент.

Ключевые слова: Поток платежей, поток пренумерандо, поток постнумерандо, рента (аннуитет), коэффициент наращения аннуитета, коэффициент дисконтирования ренты (аннуитета), анализ условных аннуитетов.

Вопросы:

1. Виды потоков платежей и их основные параметры

2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо: годовая рента, начисление процентов т раз в году, непрерывное начисление процентов

3. Определение параметров постоянных рент

Вопрос 1. Виды потоков платежей и их основные параметры

Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом. Один из основных элементов финансового анализа – оценка денежного потока С₁, С₂, …, С_n, генерируемого в течении ряда временных периодов в результате действия того или иного вида активов. Элементы С_i (i=1 до n) потока могут быть независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом.

Для простоты решения берут, что элементы денежного потока являются однонаправленными, т.е. нет чередования оттоков и притоков денежных средств, также (если не оговорено специально) в рамках одного временного периода поступления не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ: либо в его начале, либо в его конце. В первом случае поток называется потоком пренумерандо (авансовый), во втором – потоком постнумерандо.

Если первый временной период длится от времени t₀ до момента времени t₁, второй – от t₁ до t₂ и т.д., n-й – от t_n-1 до t_n, то денежные потоки можно изобразить следующим образом:

Поток пренумерандо:

Поток постнумерандо:

Временные периоды предполагаются равными т.е.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач:

1. прямой, т.е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения);

2. обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Используемые при этом расчетные формулы различны в зависимости от вида денежного потока. И при наращении и при дисконтировании предполагается капитализация чаще всего сложными процентами.

Виды потока могут быть независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Денежные потоки, генерируемые в рамках одного временного периода поступления не распределены в рамках одного временного периода, а сконцентрированы на одной из его границ: либо в его начале, либо в конце. В первом случае поток называется потоком пренумерандо, или авансовым, во втором – потоком постнумерандо.

На практике чаще всего встречается поток постнумерандо, именно он лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов.

Вопрос 2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо: годовая рента, начисление процентов m раз в году, непрерывное начисление процентов

При рассмотрении финансовой ренты (аннуитета) используются основные категории:

1. член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа;

2. период ренты (t) – временной интервал между членами ренты;

3. срок ренты (n) – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;

4. процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента.

Рента (аннуитет) называется постоянным, если все денежные потоки (поступления) равны между собой, т.е. С1=С2=…=Сn=А.

Поток постнумерандо. Прямая задача оценка аннуитета при заданных величинах регулярного поступления (А) и процентной ставки (i) предполагает оценку будущей стоимости аннуитета.

Наращенный денежный поток: А(1+i)n-1; А(1+i)n-2;…; А(1+i); А

Будущая стоимость денежного потока может быть рассчитана по формуле:

, где – называется коэффициентом наращения аннуитета.

- показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в 1 ден. ед. к концу срока его действия.

Значение множителя для различных сочетаний i и n можно табулировать.

Иногда множитель называется коэффициентом аккумуляции вклада или фактора будущей стоимости аннуитета.

Так как оценка срочных аннуитетов необходима при анализе финансовых операций, тогда, если i-процентная ставка за базовый период, а начисление сложных процентов происходит m-раз в течение этого периода, то наращенный поток, начиная с последнего денежного поступления, имеет вид: и

Пусть в течение базового периода денежные поступления p - раз, а i-процентная ставка, начисляемая в конце периода, тогда:

- сложные проценты

- простые проценты

Пусть в течение базового периода денежные поступления происходят p – раз и проценты начисляются m-раз за период, тогда:

Обратная задача оценки будущих денежных поступлений с позиции текущего момента, с которого отчитываются временные интервалы, входящие в аннуитет. Оценка текущей стоимости аннуитета постнумерандо имеет вид:

Где

Множитель - называется коэффициентом дисконтирования ренты (аннуитета). Показывает, чему равен с позиции текущего момента стоимость аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере 1 ден.ед., продолжающейся n-равных периодов, заданной процентной ставкой i.

Начисление m-раз за базовый период:

Начисление процентов 1 раз за базовый период и m-раз за базовый период:

Зависимость между будущей и приведенной стоимостями аннуитета постнумерандо, начисление процентов n-раз за период: