Министерство образования и науки Российской Федерации
Калужский филиал
федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»
(КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)
Ю.П.Головатый
Определение оптимального шага при конечноразностной аппроксимации производных
Методические указания к лабораторной работе №3
по «Основам проектирования наноприборов и систем на их основе»
Калуга
2013 г.
УДК 621.382
Данные методические указания издаются в соответствии с учебным планом специальности 152200.62
Указания рассмотрены и одобрены: кафедрой «Материаловедение»
Протокол №_________ от _______________
Заведующий кафедрой ____________________ В.Г.Косушкин
Методической комиссией Калужского филиала
Протокол №__________от ________________
Председатель Методической
комиссии _______________ М.Ю. Адкин
Рецензент: д.т.н., профессор кафедры ФН2-КФ
________________
Автор: ст. преподаватель _______________ Ю.П. Головатый
Аннотация.
В данной лабораторной работе рассмотрены.
© Калужский филиал МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013 г.
© Головатый Ю.П.
Оглавление
Цель работы.
Теория конечно-разностной аппроксимации производных.
Задания и порядок выполнения работы.
1. Цель работы.
Цель работы: определить оптимальный шаг при численном дифференцировании первого, второго, третьего и четвёртого порядка.
2. Численное дифференцирование методом конечно-разностной аппроксимации.
2.1. Сетки и сеточные функции
Пространственной сеткой называется множество точек пространства, используемых для приближенного представления непрерывной функции, описывающей координатную зависимость физической величины.
Временнóй сеткой называется множество моментов времени, используемых для приближенного представления функции, описывающей временнýю зависимость физической величины.
Сами пространственные точки и моменты времени называются узлами сетки. Пространственные узлы в определённый момент времени образуют пространственный слой.
Функция
,
заданная в
узлах пространственно-временной сетки,
называется сеточной.
При численном решении математических задач используются равномерные и неравномерные сетки.
Равномерная сетка получается разбиением интервала изменения переменой (координаты или времени) на одинаковых ячеек.
Неравномерная сетка образуется при разбиении интервала на неодинаковые ячейки.
В дальнейшем будем
рассматривать только равномерные сетки.
Сеточные узлы могут быть расположены
в ячейках двумя способами – на границе
ячейки (рис. 2.1а) либо в её центре (рис.
3.1б). В первом случае сетку назовём
граничной,
число её узлов на единицу больше числа
ячеек N.
Размер ячейки, называемый шагом сетки,
равен
.
Узлы расположены
в точках
Во втором случае сетку буде называть центрирующей. Число ячеек равно числу узлов, шаг равен , а узлы расположены в точках
Для более точной
аппроксимации граничных условий
центрирующую сетку дополняют двумя
вспомогательными узлами, расположенными
в точках
и
(рис. 2.1в).
Рис.2.1 Три типа сеток
Значения сеточной
функции в узлах
одномерной сетки будем обозначать
.
Функцию, зависящую
от двух переменных, аппроксимируем
сеточной функцией, заданной в узлах
двумерной сетки. Для этого задаём размер
шага по каждой переменной. Если обе
переменные - пространственные, например,
x
и y,
то, обозначая шаги через
и
,
узлы зададим точками
(рис.2.2),
,
Рис. 2.2 Двумерная пространственная сетка
Значение функции
в узле, заданном индексами i
и j
будем обозначать
.
Если функция u
зависит от пространственной переменной
x
и времени t,
то разбиение области её определения на
ячейки производится аналогично. Шаги
обозначаем
и
,
узел задаём соотношениями
,
а значение функции
в узле обозначаем
(рис. 2.3). Число узлов двумерной сетки
равно
Рис. 2.3 Пространственно-временнáя сетка