3. Сводные характеристики выборки для партии материала. Доверительные интервалы
Для исследователя важно знать точность и надежность оценки каждого определенного параметра, представления о которых дают доверительные интервалы.
Односторонним доверительным интервалом называют интервал от Х- ε до неизвестного параметра или от неизвестного параметра до Х+ ε, который устанавливает либо нижнюю, либо верхнюю границу неизвестного параметра с заданной доверительной вероятностью Рд.
Двусторонним доверительным интервалом называют интервал от Х- ε до Х+ε, который покрывает неизвестный параметр распределения с заданной доверительной вероятностью Рд.
Доверительная ошибка ε характеризует случайную ошибку параметра распределения. Чем меньше значение ε тем больше точность оценки Х.
Доверительной вероятностью Рд или надежностью, соответствующей данному доверительному интервалу, называется вероятность того, что истинное значение многих числовых характеристик Х лежит в этом интервале.
Величина, равная = 1 - Рд называется уровнем значимости и иногда выражается в %. Она характеризует вероятность событий, условно принимаемые за невероятные.
Для контроля качества продукции доверительную вероятность Рд принимают равной 0,95 – 0,99.
Доверительный интервал ограничен нижней и верхней доверительными границами, в его пределах с некоторой вероятностью находится сводная характеристика.
Доверительные интервалы для среднего значения.
Для односторонней границы:
Нижняя
граница: 
(12)
Верхняя
граница: 
(13)
Для двусторонних границ:
Нижняя
граница: 
(14)
Верхняя
граница: 
(15)
где t1 и t - квантили распределения Стьюдента при доверительной вероятности = 0,95, значения которых приведены в таблице 5.
Таблица 5
K=n-1 |
t1 |
t |
zн |
zв |
K =n-1 |
t1 |
t |
zн |
zв |
2 |
2,920 |
4,303 |
0,578 |
4,42 |
29 |
1,699 |
2,045 |
0,825 |
1,28 |
3 |
2,353 |
3,182 |
0,620 |
2,92 |
40 |
1,684 |
2,021 |
0,847 |
1,23 |
4 |
2,132 |
2,776 |
0,649 |
2,37 |
50 |
1,676 |
2,009 |
0,861 |
1,20 |
9 |
1,833 |
2,262 |
0,729 |
1,65 |
100 |
1,660 |
1,984 |
0,897 |
1,13 |
19 |
1,729 |
2,093 |
0,794 |
1,37 |
|
1,645 |
1,960 |
1,000 |
1,00 |
В программе Excel доверительные интервалы рассчитываются с помощью функции ДОВЕРИТ (рис. 22). Она возвращает значение, с помощью которого можно определить доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности. Доверительный интервал представляет собой диапазон значений. Выборочное среднее x является серединой этого диапазона, следовательно, доверительный интервал определяется как (x ± ДОВЕРИТ).
Рис. 22. Функция ДОВЕРИТ
ДОВЕРИТ(альфа; станд_откл; размер)
Альфа — это уровень значимости, используемый для вычисления уровня надежности. Уровень надежности равняется (1 - альфа).100%, или, другими словами, альфа равное 0,05 означает 95-процентный уровень надежности.
Станд_откл — это стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) генеральной совокупности для интервала данных, оно предполагается известным.
Размер — это размер выборки.
Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция ДОВЕРИТ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.
Если альфа ≤ 0 или альфа ≥ 1, то функция ДОВЕРИТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!
Если станд_откл ≤ 0, то функция ДОВЕРИТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
Если размер не целое, то оно округляется.
Если размер < 1, то функция ДОВЕРИТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
Доверительные интервалы для среднего квадратического отклонения.
определяются по следующим формулам, если число испытаний n<100:
(16)
(17)
где S – среднее квадратическое отклонение.
Значения Zн и Zв определяются с помощью табл.4.
При числе испытаний К=n-1 >100 значения Zн и Zв вычисляют по формулам:
(18)
(19)
где U = t1 при n=∞ – квантиль распределения Стьюдента при доверительной вероятности Рд=0,95.
Доверительные интервалы для коэффициента вариации.
(20)
(21)
где С – коэффициент вариации.
Значения Кн и Кв приведены в таблице 6.
Таблица 6
n |
30 |
50 |
100 |
200 |
500 |
1000 |
Kн |
0,83 |
0,86 |
0,90 |
0,92 |
0,95 |
0,97 |
Kв |
1,27 |
1,20 |
1,13 |
1,10 |
1,06 |
1,04 |