4. Завдання для самостійної роботи

1. Знайти відстань від точки до прямої, яка проходить через точки .

2. Написати рівняння прямої:

1. яка проходить через точки і ;

2. яка проходить через початок координат і точку ;

3. яка проходить через точку і паралельна вектору ;

4. яка відтинає на осях координат відрізки ;

5. яка проходить через точку і паралельна осі ;

6. яка проходить через точку і паралельна осі ;

7. яка проходить через точку і паралельна прямій ;

8. яка проходить через точку і паралельна прямій .

3. Показати, що чотирикутник , де і , є трапецією. Скласти рівняння середньої лінії та діагоналей цієї трапеції.

4. Дано суміжні вершини і паралелограма і точка перетину його діагоналей. Скласти рівняння сторін паралелограма.

5. Дано рівняння двох суміжних сторін паралелограма і та точка перетину його діагоналей . Написати рівняння двох інших сторін паралелограма.

6. Написати рівняння прямої:

1. яка проходить через точку і має кутовий коефіцієнт ;

2. яка проходить через початок координат і має кутовий коефіцієнт ;

3. яка є бісектрисою координатного кута ;

4. яка проходить через початок координат і утворює з віссю кут ;

5. яка проходить через початок координат і утворює з віссю кут ;

6. яка відтинає від осі відрізок і має кутовий коефіцієнт .

7. Написати рівняння прямої:

1. яка проходить через точку і перпендикулярна до вектора ;

2. яка проходить через точку і перпендикулярна до прямої ;

3. яка проходить через початок координат і перпендикулярна до прямої .

8. На прямій знайти точку, рівновіддалену від точок і .

9. Дано дві вершини трикутника , і точка перетину його висот. Скласти рівняння його сторін.

10. Визначити координати точки, яка симетрична точці відносно прямої .

11. Вершини трикутника знаходяться в точках . Написати рівняння.

1. бісектриси внутрішнього кута ;

2. медіани, яка проходить через вершину ;

3. висоти, яка опущена з вершини .

12. Обчислити координати вершин ромба, якщо відомі рівняння двох його сторін: і та рівняння однієї з його діагоналей .

13. Скласти рівняння сторін трикутника , якщо дана одна з його вершин і рівняння двох медіан і .

14. Скласти рівняння сторін трикутника , якщо дана одна з його вершин і рівняння двох висот і .

15. Скласти рівняння сторін трикутника , знаючи одну з його вершин і рівняння двох бісектрис і .

16. Обчислити площу ромба, якщо відома його вершина , точка , яка лежить на стороні , і точка перетину його діагоналей.

17. Дано рівняння однієї зі сторін квадрата і точка перетину діагоналей . Скласти рівняння його діагоналей і інших сторін. Визначити координати вершин квадрата.

18. Промінь світла спрямований по прямій . Дійшовши до прямої , він відбився. Скласти рівняння прямої, на якій лежить відбитий промінь.

19. Дано рівняння основи рівнобедреного трикутника і його бічної сторони . Скласти рівняння другої бічної сторони, якщо вона проходить через точку .

20. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну його вершину , а також рівняння висоти і бісектриси , проведених з однієї вершини.

21. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну його вершину , а також рівняння висоти і бісектриси , проведених з різних вершин.

22. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну його вершину , а також рівняння висоти і медіани , проведених з однієї вершини.

23. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну його вершину , а також рівняння бісектриси і медіани , проведених з однієї вершини.

24. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну його вершину , а також рівняння бісектриси і медіани , проведених з різних вершин.

25. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку , і відтинає від координатного кута трикутник із площею, яка рівна 12.

26. Знайти довжини висот трикутника, сторони якого задані рівняннями .

27. Написати рівняння кола з центром в точці , яке дотикається до прямої .

28. Знайти рівняння кола, яке концентричне з колом

і яке дотикається до прямої .

29. Знайти рівняння кола, яке проходить через точки і та дотикається до прямої .

30. Знайти відстань між паралельними прямими у кожному з наступних випадків:

1. ;

2. 

3. ;

4. .

31. Через точку проведена пряма, відстань від якої до точки дорівнює 5. Скласти рівняння прямої.

32. Дано квадрат, дві паралельні сторони якого задані рівняннями і . Знайти площу цього квадрата.

33. До кола, яке має центр в точці і радіус, рівний 5, провести дотичні, паралельні прямій .

34. Скласти рівняння дотичних до кола , які перпендикулярні прямій .

35. Скласти рівняння множини точок, рівновіддалених від двох паралельних прямих:

1. ;

2. 

36. Скласти рівняння бісектриси того кута між прямими і , в якому лежить початок координат.

37. Скласти рівняння бісектриси гострого кута, утвореного прямими і .

38. Скласти рівняння бісектриси тупого кута, який утворено прямими і .

39. Скласти рівняння кола, яке проходить через точку і дотикається до прямих і .

40. Скласти рівняння кіл, які дотикаються до паралельних прямих і та проходять через точку .

41. Написати рівняння прямої, яка проходить через точку так, щоб середина її відрізка, який міститься між двома паралельними прямими , , лежала б на прямій .

42. В пучку знайти пряму, яка проходить через точку .

43. В пучку знайти пряму, паралельну прямій .

44. В пучку знайти пряму, яка проходить через початок координат.

45. Через точку перетину прямих , проведена пряма, перпендикулярна до прямої . Написати рівняння цієї прямої.

46. Дано рівняння сторін трикутника . Скласти:

1. рівняння висот трикутника;

2. рівняння прямих, які проходять через вершини трикутника паралельно протилежним сторонам.

47. Написати рівняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих і:

1. паралельна осі ;

2. паралельна осі ;

3. проходить через початок координат.

48. Скласти рівняння прямих, які паралельні прямій і віддалених від неї на відстані .

49. Дано дві суміжні вершини квадрата і . Скласти рівняння його сторін.

50. Дано рівняння двох сторін квадрата і одна з його вершин . Скласти рівняння двох інших сторін цього квадрата.

51. Дано рівняння двох сторін квадрата . Скласти рівняння двох інших його сторін при умові, що точка лежить на стороні цього квадрата.

52. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку на однакових відстанях від точок і .

53. На прямій знайти точки, рівновіддалені від точки та від прямої .

54. Через точку проведено пряму так, що її відрізок, який знаходиться між прямими і , ділиться в точці навпіл. Скласти її рівняння.

55. Дано рівняння двох сторін трикутника і рівняння однієї з його медіан. Скласти рівняння третьої сторони.

56. Дано рівняння двох сторін трикутника , і точка перетину його медіан. Скласти рівняння третьої сторони і знайти координати вершин трикутника.

57. Дано рівняння двох медіан трикутника і рівняння однієї з його сторін . Скласти рівняння двох інших сторін і знайти координати його вершин.

58. Скласти рівняння сторін квадрата, дві паралельні сторони якого проходять відповідно через точки і , а дві інші - через точки і .

59. Через точку провести пряму так, щоб її відрізок, який знаходиться між двома даними прямими і , ділився в точці навпіл.

60. Сторони кута, дані своїми рівняннями і , перетинаються рядом паралельних прямих: . Знайти геометричні місця:

1. середин відрізків паралельних прямих, які знаходяться між сторонами кута;

2. точок, які ділять у відношенні відрізки паралельних прямих, які містяться між сторонами кута.

61. Знайти центр вписаного кола і центр ваги рівнобедреного трикутника, якщо дані рівняння бічних сторін трикутника ; і точка , яка лежить на його основі.

62. У рівнобедреному трикутнику відоме рівняння основи , рівняння однієї з бічних сторін і точка на іншій бічній стороні. Обчислити :

1. відстань від бічної сторони до протилежної вершини;

2. координати центра ваги;

3. площу трикутника.

63. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну з його вершин і рівняння двох висот: і .

64. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну з його вершин і рівняння двох медіан: і .

65. Дано трикутник: і . Через кінці його медіани проведені прямі і , відповідно паралельні двом іншим медіанам. Перевірити, що сторони трикутника рівні по довжині медіанам трикутника . Обчислити відношення площ трикутників і .

66. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну з його вершин і рівняння бісектрис двох його кутів: і .

67. Прямі і дотикаються до кола, радіус якого . Обчислити площу чотирикутника, який утворено цими дотичними і радіусами кола, проведеними в точки дотику.

68. Знаючи вершини трикутника і , перевірити, що висоти його перетинаються в одній точці, і обчислити площу трикутника, вершинами якого служать основи висот даного трикутника .

69. Дано рівняння сторін трикутника: і . Знайти в середині трикутника таку точку, щоб прямі, які з’єднують її з вершинами трикутника, розбивали його на три рівновеликих трикутники.

70. Дано рівняння однієї із сторін квадрата і точки перетину його діагоналей . Скласти рівняння його діагоналей і інших сторін. Визначити координати вершин.

71. Дана вершина квадрата і рівняння прямої . Скласти рівняння прямих, які містять сторони квадрата.

72. Центр квадрата знаходиться в точці , рівняння однієї з його сторін. . Скласти рівняння інших його сторін.

73. На прямій знайти точку Р, сума відстаней якої до точок була б найменшою.

74. Дано вершини трикутника : . Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з вершини на бісектрису внутрішнього кута при вершині А.

75. Знайти координати точки, яка симетрична початку координат відносно прямої .

76. Знайти координати точки, яка симетрична точці відносно прямої, яка проходить через точки

77. На прямій знайти точку, різниця віддалей якої до точок та була б найбільшою.

78. На осі абсцис знайти точку, сума віддалей якої до точок та була б найменшою.

79. Задано рівняння двох сторін паралелограма . , і середина сторони . Знайти рівняння двох інших його сторін.

80. Дано середини сторін трикутника. Скласти рівняння його сторін.

81. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну з його вершин і рівняння двох його висот: і

82. Скласти рівняння бісектриси того кута між заданими прямими і , якому належить точка .

83. Дано дві точки і . На осі абсцис знайти таку точку , щоб довжина ламаної була найменшою.

84. Основа рівнобедреного трикутника належить прямій, а бічна сторона – прямій . Скласти рівняння іншої бічної сторони, якщо вона проходить через точку

85. Знайти відстань між паралельними прямими: l₁: 2x–y+7=0 і l₂: 2x–y– –1=0.

86. До кола з центром в т. та радіусом провести дотичні паралельні прямій .

87. Промінь світла направили по прямій . Знайти рівняння прямої, на якій лежить промінь, відбитий від осі абсцис.

88. Дана пряма . Знайти множину точок, рівновіддалених від цієї прямої на величину .

89. Скласти рівняння прямої, яка рівновіддалена від двох даних паралельних прямих і .

90. Дано рівняння двох сторін квадрата і і одна з його вершин . Скласти рівняння двох інших сторін квадрата.

91. На прямій знайти точки, рівновіддалені від прямих i .

92. Чи перетинає відрізок АВ з кінцями в точках і пряму l, задану рівнянням ? Якщо так, то знайти їх точку перетину

93. Скласти рівняння сторін трикутника, якщо одна з його вершин і рівняння двох висот і .

94. Обчислити кут між прямими і , які задані відповідно рівняннями і .