Кут між прямими. Умова перпендикулярності

Нехай і — дві різні непаралельні прямі на площині. Кутом між прямими і називається той з кутів, утворених при їх перетині, який не перевищує /2. Якщо прямі і збігаються або паралельні, то кут між ними вважається рівним нулю.

Якщо дві довільні прямі і задані своїми загальними рівняннями

,

,

то косинус кута між ними обчислюється за формулою

де і – вектори нормалей прямих і відповідно.

Прямі і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли

(умова перпендикулярності прямих).

Нехай тепер прямі і задані своїми канонічними рівняннями

,

.

Тоді косинус кута між ними обчислюється за формулою

де і — напрямні вектори прямих і відповідно. Прямі і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли

(умова перпендикулярності прямих).

Нарешті, якщо неперпендикулярні до осі абсцис і неперпендикулярні між собою прямі і , задані рівняннями

то тангенс кута між ними обчислюється за формулою

.

Прямі перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли

(умова перпендикулярності прямих).

Рівняння прямих, що проходять через точку під кутом до прямої L : Ах + Ву + С = 0, мають вигляд

Взаємне розташування прямих і точок відносно прямих. Умова паралельності

Нехай задано дві прямі загальними рівняннями:

,

, тоді якщо:

1) , прямі і перетинаються;

2) , прямі і паралельні (умова паралельності прямих);

3) , прямі і збігаються.

Якщо прямі і задані своїми канонічними рівняннями

,

,

то при:

1) прямі і перетинаються;

2) , прямі і паралельні (умова паралельності прямих);

3) , прямі і збігаються.

Нарешті, якщо неперпендикулярні до осі абсцис прямі і задані рівняннями

з кутовим коефіцієнтом, то у випадку:

1. прямі і перетинаються;

2. , прямі і паралельні (умова паралельності прямих);

3. , прямі і збігаються.

Пряма розбиває площину на дві півплощини. Нерівність задає додатню півплощину відносно даної прямої. Якщо вектор відкласти від довільної точки на прямій, то він цілком лежатиме у цій півплощині. Від’ємна півплощина відносно даної прямої визначається нерівністю .

Якщо нам задано пряму L: , то нерівність визначає відкриту півплощину, обмежену прямою L , а нерівність визначає іншу півплощину, обмежену цією ж прямою L.

Точки і лежать по одну сторону від прямої, заданої рівнянням , якщо

,

якщо ж ,

то точки і лежать по різні сторони від прямої.

Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої. Рівняння бісектрис кутів між двома прямими

Загальне рівняння прямої називається нормальним, якщо вектор нормалі цієї прямої є орт. Довільне загальне рівняння прямої зводиться до нормального множенням на нормуючий множник .

Знак обирається протилежним до знаку вільного члена С.

Модуль результату підстановки координат точки в нормальне рівняння прямої дорівнює відстані d від цієї точки до даної прямої.

Нехай – довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму L, – кут, утворений цим перпендикуляром з додатним напрямком осі ОХ, тоді нормальне рівняння цієї прямої має вигляд:

.

Відстань d від точки до цієї прямої обчислюється за формулою:

.

Якщо пряма L задана своїм загальним рівнянням , то відстань d від точки до прямої L обчислюється за формулою:

Відстань d між двома паралельними прямими і знаходиться за формулою:

.

Рівняння бісектрис кутів між прямими і , що перетинаються, мають вигляд

Відхиленням точки М, яка не лежить на прямій L, що не проходить через початок координат О, від даної прямої називається число , яке дорівнює відстані d від точки М до прямої L, якщо точки М і О лежать по різні боки від прямої L, і , якщо по один бік. Якщо точка М належить прямій L, то = 0.

Щоб знайти відхилення точки від прямої L, необхідно в ліву частину нормального рівняння цієї прямої замість плинних координат підставити координати точки , :

, або