Змістовий модуль 4. Пряма лінія на площині. Способи задання. Різні рівняння прямої

Змістовий модуль 4. Пряма лінія на площині. Способи задання. Різні рівняння прямої

1. Основні теоретичні відомості Рівняння лінії на площині

Нехай на площині вибрано деяку декартову систему координат. Тоді точки площини знаходяться у взаємно однозначній відповідності з елементами множини . Ця відповідність задається зіставленням кожній точці площини її координат в даній системі координат. Отже, зафіксувавши декартову систему координат, ми можемо ототожнити площину з . Тому далі, якщо на площині введено декартову cистему координат, ми не розрізнятимемо точки М площини і відповідні їм пари .

Лінією (кривою) на площині називається геометричне місце точок площини, координати яких відносно деякої декартової системи координат задовольняють рівняння

, (1)

де – деяка функція.

Рівняння (1) називається загальним рівнянням лінії на площині. Зауважимо, що в різних системах координат рівняння (1) визначає, взагалі кажучи, різні криві, а одна й та сама лінія має різні рівняння в різних системах координат.

Векторно-параметричним рівнянням лінії на площині називається рівняння:

,

де , причому точка лежить на кривій тоді і тільки тоді, коли її радіус-вектор відносно даної декартової системи координат дорівнює для деякого значення параметра . Переходячи до координат, отримуємо параметричні рівняння лінії на площині

де

Полярним рівнянням лінії на площині називається рівняння

,

де і — полярні координати точок площини в деякій полярній системі координат, , причому точка належить кривій тоді і тільки тоді, коли .

Рівняння прямої на площині

Починаючи з цього параграфа і до кінця розділу на площині фіксовано деяку праву прямокутну декартову систему координат.

Лінія на площині є прямою тоді і тільки тоді, коли в даній прямокутній декартовій системі координат вона задається лінійним рівнянням

, , (2),

в якому принаймні один з коефіцієнтів , відмінний від нуля. Рівняння (2) називається загальним рівнянням прямої. Вектор — перпендикулярний до прямої і називається вектором нормалі прямої. Загальне рівняння прямої називається повним, якщо всі його коефіцієнти А, В, С відмінні від нуля, і неповним в іншому разі.

Для неповних рівнянь можливі випадки:

1) , рівняння має вигляд і визначає пряму, яка проходить через початок координат, оскільки точка задовольняє це рівняння;

2) , рівняння має вигляд та визначає пряму, перпендикулярну до осі Оу. Це рівняння можна записати у вигляді:

, де — величина відрізка, який відтинає пряма на осі , рахуючи від початку координат. Вектор нормалі цієї прямої паралельний осі ;

3) , рівняння записується у вигляді і визначає вісь абсцис;

4) , рівняння має вигляд та визначає пряму, перпендикулярну до осі . Це рівняння можна записати у вигляді , де — величина відрізка, який відтинає пряма на осі , рахуючи від початку координат. Вектор нормалі цієї прямої паралельний осі ;

5) , рівняння записується у вигляді і визначає вісь ординат.

Якщо жоден з коефіцієнтів рівняння (2) не дорівнює нулю, то його можна записати у вигляді

,

де — величини відрізків, які відтинає пряма на координатних осях. Це рівняння називається рівнянням прямої у відрізках.

Рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до вектора , має вигляд

.

Напрямним вектором прямої називається довільний ненульовий паралельний даній прямій вектор. Якщо пряма проходить через точку і має вектор своїм напрямним вектором, то рівняння цієї прямої має вигляд

Це рівняння називається канонічним рівнянням прямої.

Пряма, яка проходить через дві різні точки і , задається рівнянням

.

^{Параметричними рівняннями прямої називаються рівняння}

де – точка на прямій, — напрямний вектор прямої, — параметр. Геометричний зміст параметра t полягає в тому, що величина t пропорційна відстані від точки до точки прямої, яка відповідає значенню параметра t. Якщо, крім того, вектор є орт, то |t| дорівнює довжині відрізка .

Якщо пряма задана своїм загальним рівнянням (2) і не перпендикулярна до осі абсцис, то її рівняння може бути записане у вигляді

у = кх + b,

де — кутовий коефіцієнт, — величина відрізка, який відтинає пряма на осі Оу. Це рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Якщо — напрямний вектор цієї прямої, то і . З іншого боку, , де — кут нахилу прямої до осі абсцис, тобто (гострий) кут між прямою і віссю Ох, взятий зі знаком «+» або «–» в залежності від того, збігається чи ні напрям відрахунку кута від осі абсцис з додатним напрямом відліку кутів у вибраній системі координат.

Рівняння прямої, яка проходить через точку та має кутовий коефіцієнт к, записується у вигляді

.

Якщо задано координати двох точок та , які належать прямій, то її кутовий коефіцієнт можна знайти за формулою:

.