2.4. Модели на основе передаточных функций

Рассмотрим однооткликовую импульсную систему с дискретными сигналами на ее входе и выходе, модель которой может быть выражена с помощью импульсной характеристики (весовой функции) в виде уравнения (2.17).

Дискретное Z-преобразование решетчатой функции v(n)=v_n задается в следующем виде

.

Применяя одностороннее Z-преобразование к левой и правой части этого выражения, получаем

/ (2.23)

Z-преобразование однозначно связано с дискретным преобразованием Лапласа. Взаимосвязь комплексной переменной z и комплексной переменной преобразования Лапласа выражается соотношением z=e^s, которое используется для перехода от дискретного преобразования Лапласа к Z-преобразованию и наоборот.

Модель импульсной системы (2.23) устанавливает связь между Z-преобразованием отклика z(k) выходного сигнала и Z-преобразованием входного сигнала х(k).  - передаточная функция импульсной системы (дискретная передаточная функция), являющаяся Z-преобразованием импульсной характеристики h(k).  - Z-преобразование случайной составляющей v(k).

Если применять преобразование Лапласа к обеим частям модели (2.18) для непрерывной однооткликовой системы, то можно записать z(s)=h(s)х(s)+v(s). В этом уравнении z(s), h(s), х(s), v(s) - преобразования Лапласа соответственно от z(t), h(t), х(t), v(t); h(s) - передаточная функция непрерывной системы, представляющая собой преобразование Лапласа от импульсной характеристики. Преобразование Лапласа имеет вид

.

Применяя к обеим частям уравнения (2.18) дискретное преобразование Фурье, получим z(jw)=h(jw)х(jw)+v(jw), где z(jw), х(jw), v(jw) - преобразования Фурье соответственно от отклика, входного сигнала и помехи, h(jw) - частная характеристика системы, которая есть не что иное, как преобразование Фурье от импульсной характеристики. Преобразование Фурье имеет вид

.

В рассмотренных моделях, использующих преобразования по Лапласу и Фурье, в роли аргументов выступают соответствующие параметры преобразований z, s, j. Все модели линейны по входным сигналам, но, как правило, нелинейные по параметрам.

2.5. Конечные автоматы

Для моделирования динамических систем, функционирующих в дискретном времени, применяется аппарат конечных автоматов [7]. Теория конечных автоматов и их модели используются при синтезе и анализе вычислительных устройств, дискретных устройств автоматики. Конечный автомат функционирует в дискретные моменты времени t, причем в каждый момент t_i автомат находится в одном из возможных состояний z(t_i), принадлежащем множеству состояний автомата Z. Математические модели в виде конечного автомата получили название F-схем от английского finite automata – конечный автомат.

В каждый момент t_i (i=1,2,...) на вход конечного автомата поступает входной параметр - одна из букв х(t_i) входного алфавита Х, а на выходе существует выходной параметр y(t) - буква выходного алфавита Y.

Автомат формально определен набором

A=<Х,Z,Y,z₀,,>,

где Х={х₁,х₂,...,х_m} - множество входных параметров; Z={z₁,z₂,...,z_n} - множество состояний; Y={y₁,y₂,...,y_r} - множество выходных параметров. Элементы множества Х, Z, Y называют входным, внутренним и выходным алфавитом. При поступлении параметра х состояние конечного автомата изменяется в соответствии с одношаговой функцией переходов, например:

z(t)=[z(t-1),х(t)] или z(t)=[z(t),х(t)],

а выходной параметр y(t) определяется функцией выходов, которая может иметь следующие виды задания:

y(t)=[z(t),х(t)]; y(t)=[z(t-1),z(t) х(t)]; y(t)=[z(t-1), х(t)].

Функции переходов и выходов могут быть заданы теоретико-множественным способом, табличным способом и в виде графов. Рассмотрим пример задания конечного автомата.

Пусть Х={х₁,х₂,х₃}, Z={z₁,z₂,z₃,z₄}, Y={y₁,y₂,y₃,y₄}.

Функция переходов для данного автомата задана в виде табл. 2.1, а функция выходов вида y(t)=[z(t),х(t)] – в виде табл. 2.2.

Таблица 2.1

Функция переходов

Х	Z
	z1	Z2	z3	z4
х1	z1	Z2	z3	z4
х2	z2	Z3	z4	z1
х3	z4	Z1	z2	z3

Таблица 2.2

Функция выходов

Х	Z
	z1	z2	z3	z4
х1	y1	y4	y3	y2
х2	y2	y1	y4	y3
х3	y3	y2	y1	y4

При задании функции переходов на пересечении i–й строки и j–го столбца указывается состояние z_k, в которое переходит автомат при подаче входного параметра х_i в такте времени t, при условии, что в такте времени t-1 автомат находился в состоянии z_j.

На рис. 2.4 приведено графическое задание функции переходов рассматриваемого автомата.

Рис. 2.4

Автомат в процессе своей работы реализует отображение множества слов (последовательность параметров) входного алфавита Х на множество слов выходного алфавита Y. Если на вход конечного автомата, установленного в начальное состояние z₀, подать последовательность букв входного алфавита х(t₀), х(t₁), х(t₂),…, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита y(t₀), y(t₁), y(t₂),…

В зависимости от способа заданий функций переходов и выходов, автоматы подразделяются на автоматы первого и второго рода. Для автомата первого рода, называемого автоматом Мили, функция переходов имеет вид z(t)=[z(t),х(t)], а функция выходов - y(t)=[z(t),х(t)].

Для автомата второго рода функция переходов имеет вид: z(t)=[z(t),х(t)], а функция выходов - y(t)=[z(t-1),х(t)].

Автомат второго рода, функция выходов которого определяется его состоянием - y(t)=[z(t)], называется автоматом Мура.

По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти обладают лишь одним состоянием. Автоматы без памяти называют комбинационными или логическими схемами. Функция выходов такого автомата - y(t)=[х(t)].

Если множества Х и Y состоят из двух параметров, то функции переходов и выходов называются булевыми функциями.

Рассмотрим примеры моделирования систем в виде конечных автоматов.

Пример 1. Автомат для продажи билетов в автобусах принимает монеты достоинством в 1,2 и 5 рублей и выдает билеты стоимостью 5 рублей. Рассмотрим конечный автомат Мили с множеством состояний Z=(0,1,2,3), входным алфавитом Х=(1,2,5) и выходным алфавитом Y=(0,1), где 0 соответствует ситуации «билет не выдается», а 1 – ситуации «билет выдается».

Функция переходов (t) определяется соотношением

Z(t)=(z(t-1)+х(t))mod5,

а функция выходов (t) – соотношением

Пример 2. Хранилище склада материально-технического снабжения состоит из стеллажей, предназначенных для хранения материальных ценностей.

Изделия i-й номенклатуры хранятся в i-м стеллаже (i=1,2,…,n). Содержание стеллажей изменяется в моменты времени поступления на склад новых изделий потребителям. Такое хранилище можно представить в виде конечного автомата Мура. В качестве состояний выберем n-мерный вектор Z=(Z₁,Z₂,…,Z_n), где Z_i - число изделий на i-м стеллаже.

Выходной сигнал – (n+1) – мерный вектор Х=(Х₁,Х₂,…, Х_n,), где Х_i - число изделий i-й номенклатуры, поступивший на склад или выданный потребителю. При поступлении изделий на склад =1, а при выдаче изделий потребителю = -1. Выходной сигнал представляет собой n–мерный вектор Y=(Y₁,Y₂,…,Y_n), для которого Y_i(t)=Z_i(t) – информация о состоянии стеллажей.

Функция переходов определена соотношением

Z_i(t)=Z_i(t-1)+х(t),

а функция выходов определена соотношением

Y_i(t)=Z_i(t).

На рис. 2.5 приведен алгоритм программы моделирования конечного автомата, функция выходов которого имеет задание z(t)=[z(t-1),х(t)], а функция переходов - y(t)=[z(t),х(t)]. Функция переходов задается в подпрограмме WWOD в виде массива FР(i,j), значения которого определены индексом k состояния z_k, в которое переходит автомат при подаче входного параметра х_i в такте времени t, при условии, что в такте времени t-1 автомат находился в состоянии z_j.

Рис. 2.5

Функция выходов задается в подпрограмме WWOD в виде массива FW(i,k), значения которого определены индексом w выходного параметра (буквы) y_w, который будет на выходе автомат при подаче входного параметра х_i в такте времени t, при условии, что в этом такте времени t автомат находится в состоянии z_k. В подпрограмме WWOD происходит инициализация автомата, т.е. определение z₀=z_k. В блоке 3 алгоритма происходит изменение индекса состояния с учетом задержки на один такт.