1.2. Концепции определения моделей

Под динамической системой понимается объект, находящийся в каждый момент времени tT в одном из возможных состояний Z и способный переходить во времени из одного состояния в другое под действием внешних и внутренних причин.

При моделировании динамической системы применяют следующие механизмы:

- описание изменения состояний под действием внутренних причин (без вмешательства внешней среды);

- описание приема входного параметра и изменения состояния под действием этого параметра (модель в виде функции перехода);

- описание формирования выходного параметра или реакции динамической системы на изменения состояний и входного параметра (модель в виде функции выхода).

Аргументами входных и выходных параметров системы могут служить время, пространственные координаты, а также некоторые переменные, используемые в преобразованиях Лапласа, Фурье и других.

Входные параметры модели в общем случае могут быть заданы в виде вектора ={х₁,х₂,…,х_m}, х_iХ_i,, ( ), где Х_i - заданные дискретные или непрерывные множества. Прямое произведение вида Х=Х₁Х₂…Х_m называется пространством входных параметров, а вектор представляет собой точку пространства Х.

Отображение Х=L(t), сопоставляющее каждому моменту времени t некоторый параметр Х, называется входным процессом L(t).

Вектор выходных параметров Y ‑ множеству выходных параметров. Выходной параметр, выдаваемый системой в момент времени tT, обозначим . Если выходной сигнал описывается набором характеристик y₁,y₂,…,y_r, таких, что y_jY_j, ( ), где Y_j - заданные множества, то прямое произведение Y=Y₁Y₂…Y_r называется пространством выходных параметров. По аналогии с входным процессом определяется понятие выходного процесса Y=M(t).

В теории управления выходные параметры называются фазовыми координатами (переменными состояния).

Состояние системы определяется как совокупность состояний элементов. Состояние системы описывается некоторым набором характеристик z_kZ_k, ( ), где Z_k - заданные множества, а пространство состояний Z определяется как прямое произведение Z=Z₁Z₂…Z_n.

В технических системах в большинстве случаев не удается непосредственно наблюдать параметры (сигналы) на выходе системы. Можно наблюдать сигналы лишь на выходе измерительного устройства, последовательно соединенного с системой, как это показано на рис. 1.3.

Рис. 1.3

Выходные сигналы системы и дополнительные воздействия, которым соответствует r-мерный вектор дополнительных сигналов (связанных также с ошибками измерения) ={₁,₂,…,_r}, являются входными сигналами для измерительного устройства. Наблюдаемый вектор состояний измерительной системы (вектор откликов) записывается в виде V={v₁,v₂,…,v_r}. Математическая модель измерительного устройства имеет вид

V=B(Y), (1.4)

где B(Y) - некоторый оператор, преобразующий сигналы Y и  на входе измерительного устройства в сигналы-отклики V.

При моделировании систем находят модели в виде функций переходов и выходов. В самом общем случае эти модели могут быть заданы в виде соответствий.

Соответствие [4] ‑ это способ (закон) сопоставления элементов хХ с элементами yY так, что имеется возможность образования пар (двоек) (х,y), причем для каждого элемента хХ возможно указать элемент yY, с которым сопоставляется элемент х. В сопоставлении могут участвовать не все элементы Х и Y. Для задания соответствия необходимо указать:

- множество Х, элементы которого сопоставляются с элементами другого множества;

- множество Y, с элементами которого сопоставляются элементы множества Х;

- множество QХY, определяющее закон, согласно которому осуществляется соответствие, т.е. перечисляющее все пары (х,y), участвующие в сопоставлении.

Соответствие, обозначаемое через q, представляет собой тройку множеств q=(Х,Y,Q), где Х – область отправления соответствия, Y – область прибытия соответствия, Q – график соответствия, QХY. Очевидно, что проекция Пр₁QХ, а Пр₂QY, причем множество Пр₁Q называется областью определения соответствия, а проекция Пр₂Q – областью значений соответствия. Способы задания соответствий следующие.

При теоретико-множественном задании определяют множества Х={х₁,х₂,…,х_n}, Y={y₁,y₂,…,y_m} и график Q={(х_i,y_j)}, хХ, yY , .

При матричном способе задания соответствие задается в виде матрицы инцидентности R_Q, которая имеет вид прямоугольной таблицы размером nm. Элементы х_iХ соответствуют строкам матрицы R_Q, а элементы y_jY соответствуют столбцам. На пересечении х_i строки и y_j столбца ставится элемент r_ij=1, если элемент (х_i,y_j)Q, и r_ij=0, если (хi,y_j)Q.

При графическом способе соответствие задается в виде рисунка (см. рис. 1.4.), на котором элементы х_iХ – кружки одной линии, элементы y_jY – кружки другой линии, а каждая двойка (х_i,y_j)Q обозначается стрелкой, идущей от кружка х_i к кружку y_j. Такое представление называется графиком.

Если сопоставлять элементы yY элементам множества Х, то получим соответствие q^-1=(Y,Х,Q^-1), обратное соответствию q (инверсия соответствия q).

Х={х₁,х₂,х₃,х₄}, Y={y₁,y₂,y₃}, Q={(х₁,y₁), (х₁,y₂), (х₂,y₁), (х₂,y₂), (х₃,y₂), (х₄,y₃)}.

Рис. 1.4

Исходя из приведенных выше определений множеств входных параметров Х=Х₁Х₂…Х_m, выходных параметров Y=Y₁Y₂…Y_r, состояний Z=Z₁Z₂…Z_n определим задание моделей функций переходов и выходов, как соответствий. Модель системы в виде функции переходов задана соответствием

f_П=(Х₁Х₂…Х_m,Z₁Z₂…Z_n,F_П). (1.5)

Данная модель устанавливает соответствие f_П между каждым элементом ={х₁,х₂,…,х_m}Х₁Х₂…Х_m и элементом ={z₁,z₂,…,z_n}Z₁Z₂…Z_n. F_П – график соответствия f_П. Модель системы в виде функции переходов может быть задана также в виде

f_П={(Х₁Х₂…Х_m),(Z₁Z₂…Z_n),

(Z₁Z₂…Z_n),F_П}, (1.6)

т.е. модель устанавливает соответствие f_П между каждым элементом ( , )[(Х₁Х₂…Х_m)(Z₁Z₂…Z_n)] и элементом ={z₁,z₂,…,z_n}Z₁Z₂…Z_n. Модель системы в виде функции выходов задана соответствием

f_В={[(Х₁Х₂…Х_m),(Z₁Z₂…Z_n)],

(Y₁Y₂…Y_r),F_В}. (1.7)

Модель устанавливает соответствие f_В между каждым элементом ( , ) из множества [(Х₁Х₂…Х_m), (Z₁Z₂…Z_n)] и элементом ={y₁,y₂,…,y_r}Y₁Y₂ …Y_r. F_В – график соответствия f_В.

Модель системы в виде функции выходов может быть задана еще и в таком виде:

f_В={[(Х₁Х₂…Х_m)(Z₁Z₂…Z_n)],[Z₁Z₂…Z_n],

(Y₁Y₂…Y_r),F_В), (1.8)

т.е. модель в данном случае устанавливает соответствие f_В между каждым элементом {( , ), } из множества {[(Х₁Х₂…Х_m), (Z₁Z₂…Z_n)], [Z₁Z₂…Z_n]} и элементом ={y₁,y₂,…,y_r}Y₁Y₂ …Y_r.

Модель системы в виде функции переходов может быть записана еще в следующем виде:

(1.9)

или в виде

. (1.10)

Модель системы в виде функции выходов может быть задана и в таком виде:

(1.11)

или в виде

. (1.12)