7.2. Модель входного потока заявок и времени обслуживания

Входной поток заявок характеризуется начальным моментом времени t₀, моментами времени t_i поступления i-х заявок, случайными величинами _i - интервалами времени между заявками, _i=t_i-t_i-1. Модель потока в общем виде представляет собой конечномерную функцию распределения вероятностей:

F(х₁,х₂,...,х_n)=Р{₁<х₁, ₂<х₂,..., _n<х_n}.

Если _i - величины детерминированные, то имеем дело с равномерным потоком заявок. Можно задать для каждого _i плотности распределения f_i(х). В том случае, когда плотность совместного распределения будет определяться как f(х₁,х₂,...,х_n)=f₁(х)f₂(х)...f_n(х), получим поток Пальма с ограниченным последействием.

Известны три характеристики для классификации входных потоков:

- ординарный поток, если за сколь угодно малый отрезок времени вероятность появления двух и более заявок равна нулю;

- стационарный поток, если вероятность поступления k-заявок за интервал времени (t₀,t) не зависит от выбора момента t₀;

- поток без последействия, если вероятность появления k-заявок внутри некоторого интервала не зависит от появления заявок до момента начала этого интервала.

Простейший поток (поток Пуассона) удовлетворяет всем трем условиям. Для этого потока вероятность поступления k-событий за время t определится

.

Функция распределения времени поступления между двумя заявками определяется экспоненциальным распределением - A(t)=1-^-t. Hаиболее часто применяется при моделировании экспоненциальное распределение и распределение Эрланга. Функция распределения плотности вероятности интервалов между заявками для эрланговского потока r-го порядка определится

.

Если r=0, то получаем экспоненциальное распределение. Эрланговские распределения описывают модели потоков с последействием. Моделями времени обслуживания могут служить функция и плотность распределения вероятности длительности обслуживания. При исследовании прибора обслуживания необходимо определить эмпирическую плотность распределения длительности обслуживания, а затем ее аппроксимировать известными теоретическими распределениями. Hаиболее применяемые распределения: нормальное, постоянное, экспоненциальное распределения и распределение Эрланга.

7.3. Модель Эрланга

При моделировании СМО исследуется изменение в системе за сколь угодно малый отрезок времени. Составляются уравнения в частных приращениях, от которых затем осуществляется переход к дифференциальным уравнениям. Рассмотрим вывод дифференциальных уравнений, известных как модель Эрланга. Будем рассматривать одноканальную СМО с бесконечной очередью, с ожиданием, пуассоновсим потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания. Поток ординарный, простейший, функция распределения интервалов между заявками является экспоненциальной. Модель смены состояний можно представить в виде графа, приведенного на рис. 7.1.

Рис. 7.1

Составим уравнения Эрланга в частных приращениях, которые будут отображать те изменения, которые произошли в системе за сколь угодно малое время t.

Из графа состояний (см. рис. 7.1) следует, что в числе состояний СМО существует «особое» состояние – состояние, при котором в СМО нет заявок. Определим это состояние, начальное состояние, когда число заявок в СМО n=0. Остальные состояния идентичны по своим связям с другими состояниями и определены числом заявок в СМО n1. Вероятность Р₀(t+t) того, что СМО к моменту t+t останется в нулевом состоянии, определится из анализа полной группы событий:

- в момент времени t система была в нулевом состоянии и за время t заявки не поступали;

- в момент времени t система была в единичном состоянии (в СМО была одна заявка) и за время t обслуживание заявки окончилось.

Вероятность Р₀(t+t) определится

Р₀(t+t)=Р₀(t)(1-t)+Р₁(t)t, (7.1)

где 1-t - вероятность непоступления заявки в СМО за время t, t - вероятность окончания обслуживания заявки за время t.

Вероятность Р_n(t+t) того, что к моменту времени t+t система будет в n-м состоянии, определится из рассмотрения следующей полной группы событий:

- в момент времени t в системе было n-1 заявок и за время t поступила заявка;

- в момент времени t система была в n-м состоянии и за время t заявки в СМО не поступили и обслуживание не окончено;

- в момент времени t в системе была n+1 заявка и за время t обслуживание заявки было окончено.

Вероятность Р_n(t+t) определится

Р_n(t+t)=Р_n-1(t)t+Р_n(t)[1–(+)t1+Р_n+1(t)t, (7.2)

где t - вероятность поступления заявки за время t; 1–(+)t - вероятность непоступления заявки в СМО и неокончания обслуживания заявки за время t.

Уравнения (7.1) и (7.2) представляют собой модель рассматриваемой СМО в виде уравнений Эрланга в частных приращениях. От уравнений в частных приращениях перейдем к дифференциальным уравнениям.

Для этого Р_n(t) из правой части перенесем в левую, разделим каждую часть на t и определим предел при t0. Получим уравнения:

(7.3)

Уравнения (7.3) представляют собой модель исследуемой СМО в виде дифференциальных уравнений Эрланга для нестационарного случая.

Так как поток заявок, поступающих в систему, отвечает условиям стационарности, то значение производных можем приравнять к нулю.

Получим модель СМО в виде уравнений Эрланга для стационарного режима

Р₁=Р₀, n=0, (1+)Р_n=Р_n+1+Р_n-1, n1, (7.4)

где /= - коэффициент использования системы.

Решение системы уравнений (7.4) будет иметь следующий вид:

Р_n=_nР₀, Р₀ =(1-), Р_n = _n (1-),

где Р_n - вероятность того, что в СМО будет n заявок.

Затем могут быть определены такие характеристики СМО, как математическое ожидание числа заявок в СМО, математическое ожидание числа заявок в очереди и другие.