3.2. Классификация моделей случайных процессов

Случайные процессы делятся на следующие широкие классы: гауссовы процессы; процессы с независимыми приращениями; стационарные в широком смысле; марковские процессы.

3.2.1. Модели на базе гауссовых случайных функций. Важную роль во многих прикладных вопросах играют случайные функции, конечномерные распределения которых являются гауссовыми (нормальными). Определение многомерного гауссова распределения следующее.

Определение. Случайный вектор X=(X₁,X,...,X_n) имеет гауссово (нормальное) распределение, если характеристическая функция распределения представима в виде

(u)=M{eхр[j(u,x)]}=eхр[j(m,u)-0,5R(u,u)],

где m=(m₁,m₂,…,m_n), u=(u₁,u₂,…,u_n) - векторы, R - неотрицательно-определенная вещественная симметричная матрица, R=||r_ij||, i,j=1,n. Здесь (,) обозначает скалярное произведение векторов  и , так, что

, .

3.2.2. Модель процессов с независимыми приращениями. Пусть T - конечный отрезок T=[0,a] или T=[0,].

Определение. Случайный процесс {X(t), tT} со значениями в евклидовом пространстве Rⁿ называется процессом с независимыми приращениями, если для любых n, таких, что 0<t₁<t₂<...<t_n, случайные векторы X(0), X(t₁)-X(0),...,X(t_n)-X(t_n-1) - взаимно независимы.

Вектор X(0) называется начальным состоянием (значением) процесса, а его распределение - начальным распределением процесса. Чтобы задать процесс с независимыми приращениями в широком смысле, достаточно задать начальное распределение Р₀(B)=Р{X(0)B} и набор распределений Р(t,h,B) - распределений вектора Р{X(t+h)-X(t)}B.

Процесс с независимыми приращениями называется однородным, если распределения вектора X(t+h)-X(t) не зависят от t, Р(t,h,B)=Р(h,B).

3.2.3. Модель процессов, стационарных в широком смысле. Стационарные процессы - это такие процессы, теоретико-вероятностные характеристики которых не изменяются со временем. Пусть T=[0,a] или T=[0,).

Определение. Модель случайного процесса (в широком смысле) {X(t), tT} со значениями в Rⁿ называется стационарной, если для любого n и любых t₁,t₂,...,t_т, таких, что t_k+tT, (k=1,n), совместное распределение случайных векторов, описывающих случайный процесс X(t₁+t),...,X(t_n+t), не зависит от t.

Имеются задачи, относящиеся к теории стационарных процессов, решение которых может быть выражено через моменты первого и второго порядков рассматриваемых процессов, т.е. многие задачи можно решать, находя моменты первого и второго порядков. Целесообразно определить класс процессов, моменты первого и второго порядков которых обладают свойствами стационарности.

Определение. Случайный процесс X(t), t>0 со значениями в пространстве Rⁿ называют процессом, стационарным в широком смысле, если M[X(t)]²< и M[X(t)]=m=сonst, M[X(t)-m][X(s)-m]=R(t-s), (t>s), где R(t) - непрерывная матричная функция.

Функцию R(t) называют корреляционной (матричной) функцией процесса X(t). В качестве примера стационарных в широком смысле процессов можно рассмотреть колебания со случайными параметрами.